Funzione esponenziale e^x come limite

[Pirello]

Buongiorno! Mi servirebbe un piccolo aiuto per quanto riguarda Analisi Matematica I (ho postato qui per non intaccare altri argomenti del suo corso). Giorni fa il nostro Professore di Analisi I ci ha citato la funzione esponenziale e facendo qualche calcolo è arrivato (direi frettolosamente) alla conclusione che e^x= lim di n che tende a +infinito di (1+x/n)^n. Come si potrebbe intuire, chiedo aiuto nella dimostrazione di questo teorema, su internet non ho trovato granchè( e anche se trovassi qualcosa, rimarrei abbastanza scettico sulla fonte). Attendo risposta e mi scuso per ogni eventuale seccatura!

[Massimo Gobbino]

Beh, intanto non c'è nulla da intaccare, quindi sposto nella sezione giusta.

Il limite della successione

[tex]\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n[/tex]

al di là della presenza del parametro x, si calcola normalmente come se ci fosse 1, 2 o 5 al posto di x.

Il modo più veloce è di fare e-alla, quindi fare il cambio di variabile y=x/n e ridursi così al limite notevole log(1+y)/y. Ovviamente questo richiede familiarità con limiti notevoli e cambi di variabile.

[Pirello]

Si, questa è la "scorciatoia" che ho trovato su internet, ma non è coerente con la dimostrazione del mio Professore. Non abbiamo ancora affrontato i limiti notevoli, rimanendo nell'ambito di limiti di successioni. Siamo partiti dal fatto che e^x è uguale alla sommatoria da k=0 a infinito di (x^k)/k! e facendo alcuni calcoli è giunto alla conclusione che il limite di n che tende a +infinito di (1+x/n)^n è uguale a zero (ma non ho capito cosa ha dimostrato così).

Forse è un po' complicato spiegarlo qui...

[Massimo Gobbino]

Uhm, forse alla penultima riga vuoi dire che il limite è uguale ad e^x, non a 0.

Sì, quella è l'altra strada, che però tira in ballo il concetto di serie, cioè di somma di infiniti termini. La dimostrazione è una generalizzazione del fatto che il numero e, definito come limite di sappiamo che cosa, è anche uguale alla somma di una certa serie. Una prima disuguaglianza passa per il binomio di Newton (come faccio anch'io a lezione). La disuguaglianza opposta è un pelino più delicata (è la solita dimostrazione "in due step").

Tutto questo però glissa sulla definizione di esponenziale, che viene (a mio giudizio innaturalmente) introdotto come somma di una serie.

Nel mio corso a matematica la faccio un po' più avanti, dopo aver sdoganato il concetto di serie.

[Pirello]

Esattamente, fino alla prima disuguaglianza ci sono. Dalla disuguaglianza opposta, non a caso più delicata come ha detto lei, ho perso qualche colpo, perdendomi definitivamente. Attenderò quindi la sua eventuale videolezione per sciogliere i miei dubbi!