Limiti 10

[catarsiaffa]

Alcuni di questi limiti mi hanno messo in difficoltà, in particolar modo:

lim n->+00 {sqrt(n+1) + sqrt(4n+1) - sqrt (9n+1) }^(1/log n)

lim n->+00 sqrt(n) * {sqrt(pigreco) - sqrt(arccos ((1-n)/n))}

[Noisemaker]

Ciao!

Io farei cosi:

- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}[/tex]

considerando la base, razionalizzando otteniamo:

[tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }[/tex] [tex]=\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) - \sqrt{9n+1)} \cdot[/tex] [tex]\displaystyle \frac{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right)^2 -9n-1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]

[tex]=\displaystyle \frac{ 2\sqrt{4n^2+5n+1} -4n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex]






quando [tex]n\to+\infty[/tex] abbiamo che

[tex]= \frac{ 2\sqrt{4n^2+5n+1} -4n+1 }}{\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1}\right) + \sqrt{9n+1 }}[/tex][tex]\sim \frac{ 1} {6 \sqrt{n }}[/tex]


e dunque il limte diventa:


[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}[/tex][tex]\sim \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)^{\frac{1}{\ln n}}=e^{\frac{1}{\ln n}\cdot \ln\left(\frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)}[/tex]

[tex]\to \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\ln n}\cdot \ln\left(\frac{ 1} {6 \sqrt{n }}\right)= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\ln n} \cdot\left(\ln 1-\ln 6\sqrt n\right)=[/tex][tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} - \frac{1}{\ln n} \cdot \ln 6\sqrt n = \lim_{n \to +\infty} - \frac{1}{\ln n} \cdot\left(\ln 6+\ln \sqrt n\right)[/tex]

[tex]= \displaystyle\lim_{n \to +\infty} - \frac{\ln 6}{\ln n}- \frac{\ln \sqrt n}{\ln n}=0- \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln \sqrt n}{\ln n}=- \frac{1}{2} \to e^{-\frac{1}{2}}[/tex]

quindi in definitiva

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{4n+1} - \sqrt{9n+1 }\right)^{\frac{1}{\ln n}}=e^{-\frac{1}{2}}[/tex]


- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)[/tex]

essendo

[tex]\displaystyle \arccos\left(\frac{1-n}{n}\right)\sim \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n}+O(x^{3/2}), (n\to +\infty)[/tex]

il limite diventa:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)[/tex] [tex]=\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)[/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)[/tex]

a questo punto razionalizzando si ha :

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }\right)\cdot\frac{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} } }{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }} =[/tex][tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \pi - \pi+\frac{\sqrt 2}{\sqrt n} }\right)\cdot\frac{1}{ \sqrt{\pi} + \sqrt{ \pi-\sqrt2\cdot\frac{1}{\sqrt n} }}=\frac{\sqrt 2}{2\sqrt\pi}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}[/tex]

quindi in definitiva:

- [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{\pi} - \sqrt{\arccos\left(\frac{1-n}{n}\right) }\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}[/tex]

[Massimo Gobbino]

Uhm, mi sa che sul primo ti sei un po' incasinato con le parentesi nel LaTeX ...

In realtà con gli sviluppini veniva più semplice. Si tratta di partire del tipo

[tex]\displaystyle\sqrt{n+1}=\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2}\sim\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{2n}\right)[/tex]

e analogamente

[tex]\displaystyle\sqrt{4n+1}=\sqrt{4n}\left(1+\frac{1}{4n}\right)^{1/2}\sim 2\sqrt{n}\left(1+\frac{1}{8n}\right)[/tex]

Trattando allo stesso modo il terzo termine si vede che le [tex]\sqrt{n}[/tex] al numeratore se ne vanno ed il gioco è fatto.