Limite 9 riga 3 seconda colonna

[great_anthony]

Salve a tutti,
spero che qualcuno mi possa aiutare...ho un problema su questo limite:

ho provato a razionalizzare e sviluppare il coseno ma non viene come dovrebbe (-4/9)...
grazie a tutti anticipatamente!

[dakron9]

ho il tuo stesso problema.. nelle soluzioni c'è scritto -4/9 ma mi viene -8/9..

ti posto il mio procedimento che potrebbe esserti d'aiuto (cosi magari potresti trovare l'errore che non riesco a trovare )

innanzitutto faccio gli sviluppi con n=2 (cosi al den rimane almeno "x^2")

1) sviluppo le radici (ho scartato la razionalizzazione, dato che ci pensa taylor) e ottengo (se non ho fatto errori)

(1 + x) ^ [1/3] = 1 + (1/3)*x - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)

e poi (questa è la parte su cui ho qualche dubbio sul risultato)

(1 - x) ^ [1/3] questo l'ho fatto calcolando le derivate (se c'è un metodo più veloce usando lo sviluppo di (1 + x)^"alfa" sicuramente non l'ho usato), e mi è venuto:

= 1 - (1/3)*x - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)

lo sviluppo del coseno c'è già (eventualmente è nei pdf)

ora sostituisco tutto (spero si capisa, altrimenti "linko" un immagine)

2)
ps. i puntini mi servono affinche il sito non mi levi gli spazi, cosi la frazione rimane ordinata, inoltre metto l'opiccolo alla fine

....... 1 + (1/3)*x - (2/9)*x^2 + 1 - (1/3)*x - (2/9)*x^2 - 2 + opiccolo(x^2)
lim----------------------------------------------------------------------------------
x->0...1 - 1 + (1/2)*x^2 + opiccolo(x^2)

vanno via:
1) gli "uni" con il -2
2) + (1/3)*x con -(1/3)*x
3) al denominatore va via 1 con -1

rimane

....... - (2/9)*x^2 - (2/9)*x^2 + opiccolo(x^2)
lim---------------------------------------------------------
x->0.........(1/2)*x^2 + opiccolo(x^2)

-(2/9) - (2/9) fa -(4/9) (non vedo perchè non dovrebbe)

poi raccolgo le x^2

....... x^2*[-(4/9) + opiccolo(x^2)/x^2]
lim-------------------------------------------------------
x->0.........x^2*[(1/2) + opiccolo(x^2)/x^2]

1) si semplifica x^2 al num con x^2 al den
2) opiccolo(x^2) / x^2 tende a 0 per x->0

mi rimane -(4/9) / (1/2) e ottengo -(8/9)

ma la soluzione è un altra... se c'è un errore allora vi scongiuro: ditemelo!! così è un problema in meno che mi rimane in testa

edit: ps: forse il "trucchettino" per (1 - x)^"alfa" era quello di mettere y=-x ma l'ho scoperto ora... meglio tardi che mai (7 giorni!!!)

[great_anthony]

scusa ma il fattoriale degli sviluppi delle radici li hai considerati?

[great_anthony]

ma...il mio problema sono sempre le radici! quando le sviluppo mi rimane sempre 1+1-2 e quindi il numeratore va a farsi benedire!!

[Blacks]

sono un po' sbagliati gli sviluppini appunto. Provate a rifarli, vengono

1 + x/3 -(x^2)/9 + o(x2)
1 - x/3 - (x^2)/9 + o(x2)
e il coseno 1- (x2)/2 + o(x2)

poi facendo i calcoli viene -4/9

[dakron9]

scusa ma il fattoriale degli sviluppi delle radici li hai considerati?

ecco, l'ho anche detto

(cosi magari potresti trovare l'errore che non riesco a trovare )

ahahahah la mancanza di attenzione gioca brutti scherzi

comunque le radici le devi sviluppare con n=2, altrimenti va via tutto, sia "1 + 1 -2" che "(1/3)x - (1/3x)"

grazie a great_anthony e a Blacks!!!

ps: Blacks, il denominatore era 1 - cos(x), quindi ho direttamente sostituito lo sviluppo e - x^2/2 diventa +x^2/2...

[Fether]

Scusate, ma perchè lo sviluppo (1-x)^(1/3) vi da -(x^2)/9??? non diventa positivo essendoci il "-x" sotto radice?

[dakron9]

quando fai lo sviluppo di (1 + y)^1/3 hai, in generale,

1 + (1/3)y + (1/3)*((1/3) - 1)*(y^2) / 2

= 1 + y/3 + (1/3)*(-2/3)*(y^2)/2

= 1 + y/3 - (2/18 )*(y^2)

= 1 + y/3 - (1/9)*(y^2)

ovviamente mi sono fermato a n=2 e ometto l'o piccolo per scrivere di meno

quando vai a sostituire y = -x ottieni:

= 1 -x/3 -(1/9)* ((-x)^2) = 1 -x/3 -(1/9)*(x^2)

quando fai (-x)^2 ottieni + x^2, e quindi il segno negativo di (1/9) rimane negativo...

è solo questione di piccoli dettagli che a volte (purtroppo) sfuggono

[Fether]

Già, questi segni ci porteranno alla distruzione se non stiamo attenti XD