Limiti 5 - ultimo 2° fila

[zartom]

(n!)^(1/n^2), con e-alla arrivo a (log(n!))/(n^2) come faccio rigorosamente a capire che n^2 batte log(n!) ???

[andrea85p]

Ciao, volendo puoi sfruttare il fatto che n!<=n^n, quindi
log(n!)<=log(n^n)=nlong(n) (perchè log(x) è strettamente crescente)

Quindi, definitivamente

0<=log(n!)/n^2<=nlog(n)/n^2=log(n)/n

log(n)/n-->0 (potenza batte logaritmo)

quindi per i carabinieri log(n!)/n^2->0.

Quindi il limite originario tende a e^0=1.

Penso sia giusto.

[zartom]

veroooo. Grazie, gentilissimo!!!!

[CoTareg]

Altro modo di vedere la stessa cosa: Dividi e moltiplica per n quello che sta sotto radice e scrivila come radice n-esima di radice n-esima. Ottieni: radice n-esima di 1/e per n= 1 perchè radice n-esima di polinomio in n.

[andrea85p]

Ottieni: radice n-esima di 1/e per n= 1

Ho provato a fare tutti i passaggi e penso che sia giusto. Da come scrivi però sembra che stai facendo il limite metà per volta. Probabilmente hai fatto bene tutti i passaggi ma volevo far vedere come si possono fare i passaggi e come invece si può finire per errore a fare il limite metà per volta
(casualmente pur facendo il limite metà per volta in questo caso si arriva al risultato giusto).

Modo 1 corretto.

(n!)^(1/n^2)=(n(n!)^(1/n)/n)^(1/n)=n^(1/n)[(n!/n^n)^(1/n)]^(1/n)

Ora (n!/n^n)^(1/n)->1/e (per rapporto->radice),
Quindi [(n!/n^n)^(1/n)]^(1/n)-->(1/e)^0=1 (teorema algebrico)
E n^(1/n)->1 (radice n-ma di polinomio in n)

Quindi tutto tende a 1*1=1

Modo 2 limite metà per volta

(n!)^(1/n^2)=(n(n!)^(1/n)/n)^(1/n)=
(n(1/e))^(1/n)=n^(1/n)(1/e)^(1/n)->1*1=1

Il limite è venuto lo stesso, ma ho fatto il limite metà per volta!

Spero di non aver detto una cavolata.

Ciao

[CoTareg]

Hai ragione, il modo in cui ho scritto era un po' ambiguo, ma i passaggi erano giusti. Sorry!