Limiti 2

[g.masullo]

Buonasera a tutti. Ho trovato difficoltà a risolvere solo questo limite (sino ad ora!)

lim n-> +00 di SOMMATORIA da i=0 a n di 1/(n+ sqrt i)

La soluzione dovrebbe essere 1, ma a me viene 0 in quanto ho ragionato in questo modo.
Avendo n solo a denominatore, un numero quasiasi su oo è 0.. Se faccio la sommatoria per n volte di 0, viene sempre 0. Dove sbaglio??

[andrea.ceravolo]

Credo si tratti di un caso particolare che si gestisca con strumenti di ragionamento che non ci sono ancora stati introdotti. (spero...)
Le uniche osservazioni che mi vengono in mente sono che:

-Il limite per 1/(n + sqrt(n)) fa 0
-La sommatoria di 1/(+oo + sqrt(n)) dovrebbe fare 0

quindi l'unico modo per arrivare ad 1 con una sommatoria infinita, e' che si sommino frazioni di 1 sempre piu' piccole (esempio, 1/(2^i) per i che va da 1 a infinito).

In sostanza penso ci sia da far assomigliare 1/(n+sqrt(i)) ad una successione diversa, ma dubito che ci sia gia' illustrato il modo con cui si possa fare.

Guardando un po' sulle lezioni degli anni scorsi, vedo qualcosa di analogo, solo che si va un po' piu' avanti negli argomenti, quindi penso proprio che si tratti di attendere ancora un paio di lezioni e vedere che cosa ci viene spiegato

[Massimo Gobbino]

Siete già perfettamente in grado di fare quell'esercizio, così come i suoi vicini sull'eserciziario. Ovviamente si tratta di un esercizio di livello più alto dei precedenti, come di solito accade quando si va verso il fondo della pagina.

Quello che serve è un semplice confronto. Faremo qualche esempio di quel tipo in una delle prossime lezioni (forse già sabato).

[andrea.ceravolo]

Sbaglio, o solo col confronto a 3 possiamo individuare un limite che non sia infinito?

[g.masullo]

Il confronto a due non dice nulla di "preciso".. Cioe' dice solo che se f(x) >= g(x) definitivamente e se entrambe le funzioni hanno limite in n, allora lim x->n f(x) >= lim x->n g(x)

[AlesPalla]

Salve, stavo girovagando x il forum in cerca di esercizi perchè non ho ancora avuto il tempo di andare a comprare la dispensa...
Procedendo esattamente come faceva il professore noto che:

1) La successione ha n+1 termini

2)il più piccolo è 1/(n+sqrt(n))

3)il più grande è 1/(n+sqrt(0))=1/n

quindi importo un confronto a 3:

(n+1)/(n+sqrt(n))<=sommatoria(1/(n+sqrt(i))<=(n+1)/n

facendo tendere tutti e 3 i membri a +oo si ha che:
(n+1)/(n+sqrt(n))=(1+1/n)/(1+1/(sqrt(n))--> 1
(n+1)/n --> 1

quindi applicando il confronto a 3 si ha che il limite è stretto tra due successioni che tendono a 1, quindi tende anchesso ad 1.