Limiti 7 : suggerimento

[davebo]

Il seguente limite (in Limiti 7) :

\(\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2} \)

può essere risolto facilmente con gli sviluppi, ma mi pare di capire che sia possibile anche con i limiti notevoli.
Mi date un suggerimento?

grazie

[Vagrant]

Si, è possibilissimo con i limiti notevoli. Prima un hint, poi la soluzione completa.

[+] Hint

I due limiti notevoli che devi usare sono:
\(\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{\log(1+t)}{t} = 1\) e \(\lim_{t \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos(t)}{t^2}=\dfrac{1}{2}.\)
Quando \(x\) tende a 0, \(\cos(x)\) tende a 1. C'è un modo per usare questo per ottenere il primo limite notevole?

[+] Soluzione

Aggiungo e sottraggo 1 all'argomento del logaritmo, che diventa \(1+(\cos(x)-1)\) che è quindi nella forma del primo limite. Eliminato il logaritmo si tratta solo di usare il limite notevole con il coseno e viene -1/2. La soluzione scritta bene è nel file.

[davebo]

grazie Gentilissimo

[colokep]

Il seguente limite (in Limiti 7) :

\(\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2} \)

può essere risolto facilmente con gli sviluppi, ma mi pare di capire che sia possibile anche con i limiti notevoli.
Mi date un suggerimento?

grazie

Un modo potrebbe essere riscrivere il logaritmo usando il limite notevole \(\frac{\ln(1+t)}{t}\to1\) per \(t\to0\).

Infatti puoi porre \(t=\cos x-1\) e poi cercare di ricondurre il denominatore \(x^2\) a \(\cos x-1\), usando il limite notevole \(\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12\). Da lì dovrebbe venire direttamente il risultato.