VideoLezioni di Analisi Matematica 1 (2010/2011)
a cura del professor Massimo Gobbino
Massimo Gobbino: Professore Associato - Dipartimento di Matematica Applicata "Ulisse Dini" - Pisa (Italy)
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- Lista Lezioni.txt
- Introduzione alla teoria degli Insiemi
- Funzioni Elementari
- Successioni e Relativi Teoremi
- Funzioni e Relativi Teoremi
- Limiti
- Derivate
- Integrali
- Serie Numeriche
- Numeri Complessi
- Equazioni Differenziali
- M. Ghisi, M. Gobbino; Schede di Analisi Matematica; Esculapio
- M. Ghisi, M. Gobbino; Esercizi di Analisi Matematica I (Parte A); Esculapio
- M. Ghisi, M. Gobbino; Test d’esame di Analisi Matematica I ; Esculapio
- M. Ghisi, M. Gobbino; Scritti d’esame di Analisi Matematica I ; Esculapio
- M. Ghisi, M. Gobbino; Esercizi per i precorsi di Matematica; Esculapio
- Insiemi - Notazioni, unione, intersezione, differenza, cardinalità, insieme delle parti
- Prodotto cartesiano di insiemi, funzioni tra insiemi, grafico di una funzione, iniettività e surgettività
- Interpretazione di iniettività e surgettività in termini di grafici ed equazioni, immagine e controimmagine
- Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone. Monotonia e disequazioni. Legami tra monotonia ed iniettività
- Funzioni elemtari: potenze ed esponenziali e relative inverse. Prime operazioni sui grafici
- Principio di induzione
- Esempi di dimostrazioni per induzione, definizione di fattoriale, disuguaglianza di Bernoulli
- Definizione assiomatica dei numeri reali, assioma di continuità. Maggioranti, minoranti, massimo, minimo di sottoinsiemi
- Estremo superiore ed inferiore: definizione, caratterizzazione, esempi
- Funzioni trigonometriche e relative funzioni inverse
- Successioni e ralativi limiti: definizioni
- Primi teoremi sulle successioni (unicità del limite e permanenza del segno). Limiti di potenze di n. Teoremi di confronto ed algebrici
- Esempi di limiti di successioni calcolati usando i primi strumenti
- Coefficienti binomiali e loro significato combinatorio. Binomio di Newton e triangolo di Tartaglia
- Esercizi vari su funzioni, loro grafico e proprietà di simmetria
- Criteri del rapporto, della radice, del rapporto->radice. Esempi di limiti di radici n-esime
- Esempi di applicazione dei criteri del rapporto, della radice, del rapporto->radice. Confronti tra ordini di infinito
- Limiti di funzioni: definizioni
- Cambio di variabili nei limiti. Criterio funzioni successioni. Limiti notevoli
- Esempi di calcolo di limiti di funzioni e successioni usando i limiti notevoli
- Dimostrazione dei principali limiti notevoli, uso di cambi di variabile per spostare limiti a 0 o a +infinito
- Sottosuccessioni. Non esistenza di limiti usando opportune successioni e sottosuccessioni
- Esempi di limiti calcolati utilizzando le tecniche viste finora
- Teorema delle successioni monotone. Il numero e (monotonia e limitatezza della successione che lo definisce)
- Esercizi vari sui limiti di funzioni e successioni (metodi ante o piccolo)
- Definizione di o piccolo e sue proprietà algebriche. Sviluppini
- Esempi di utilizzo di sviluppini e o piccolo per il calcolo di limiti
- Definizione di derivata (come limite del rapporto incrementale ed in termini di o piccolo). Derivata di alcune funzioni elemetari
- Derivata di somme, prodotti, quozienti, composizioni. Derivate delle restanti funzioni elementari
- Derivata della funzione inversa. Esempi di calcolo di derivate.
- Enunciato del teorema di De L'Hopital. Esempi di come applicarlo e come non applicarlo
- Formula di Taylor (con resto di Peano) con centro nell'origine. Dimostrazione degli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.
- Sviluppi della somma, del prodotto, della composizione. Primi esempi di limiti calcolati con la formula di Taylor
- Funzioni iperboliche
- Sviluppi di Taylor di composizioni. Esempi di utilizzo degli sviluppi di Taylor per il calcolo di limiti.
- Formula di Taylor con centro in un punto diverso dall'origine. Idea della dimostrazione della formula di Taylor
- Esempi di utilizzo dei polinomi di Taylor per il calcolo di limiti e di valori di derivate
- Serie: definizione mediante somme parziali. Proprietà algebriche. Condizione necessaria. Serie telescopiche
- Serie geometriche. Serie a termini di segno costante. Criteri della radice, del rapporto e del confronto. Dimostrazione del criterio del confronto
- Serie: criterio del confronto asistotico (caso standard). Serie armoniche generalizzate. Esempi di applicazione dei criteri.
- Serie: dimostrazione del criterio della radice e del confronto asintotico. Casi limite nel confronto asintotico. Esempi
- Criterio di Leibnitz (serie a segno alterno). Criterio dell'assoluta convergenza (serie a termini di segno qualunque). Esempi di studio della convergenza di serie a segno variabile
- Esercizi di ricapitolazione sulle serie (anche parametriche)
- Esercizi di ricapitolazione sulle serie (anche parametriche)
- Teorema di esistenza degli zeri e sue applicazioni (esistenza dei valori intermedi, esistenza di soluzioni di equazioni, surgettività di funzioni)
- Teorema di Weierstrass. Ricerca dei punti di massimo/minimo: punti stazionari interni, singolari interni, bordo
- Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange
- Dimostrazione del caso 0/0 del teorema di De L'Hopital. Legami tra segno della derivata in un intervallo e monotonia nell'intervallo stesso
- Studio locale di funzioni. Criterio delle derivate successive
- Studio globale di funzioni: primi esempi. Asintoti orizzontali e verticali
- Esempi di utilizzo dello studio globale di funzioni per la risoluzione di (dis)equazioni
- Disuguaglianze classiche. Concavità, convessità e segno della derivata seconda
- Introduzione alle successioni per ricorrenza. Primo esempio di studio mediante un piano
- Successioni per ricorrenza autonome: piano classico con la monotonia
- Funzioni Lipschitziane. Successioni per ricorrenza autonome: piano con la distanza dal presunto limite
- Esempi di successioni per ricorrenza studiate con la monotonia e la distanza dal presunto limite
- Successioni per ricorrenza spiraleggianti: studio mediante la distanza dal presunto limite e mediante la monotonia delle sottosuccessioni dei pari e dei dispari
- Successioni per ricorrenza non autonome: piani con la monotonia, il rapporto, la limitatezza ed i carabinieri
- Successioni per ricorrenza non autonome: ulteriori esempi
- Successioni per ricorrenza non autonome: ulteriori esempi
- Formula di Taylor con resto di Lagrange - Applicazioni al calcolo approssimato di funzioni ed alla dimostrazione di disuguaglianze
- Introduzione agli integrali: definizione, significato geometrico, definizione mediante le somme di Riemann
- Integrabilità delle funzioni monotone. Proprità delle funzioni integrabili. Primi esempi di calcolo di integrali con considerazioni geometriche
- Primitive e funzione integrale. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Tecniche di integrazione: primitive elementari
- Ulteriori esempi di primitive elementari. Integrali con valori assoluti. Discorso del "+c"
- Formula di integrazione per parti e primi esempi di applicazione
- Ulteriori esempi di applicazione dell'integrazione per parti
- Formula di integrazione per sostituzione e primi esempi di applicazione
- Ulteriori esempi di applicazione della formula di integrazione per sostituzione
- Integrazione delle funzioni razionali (prima parte)
- Integrazione delle funzioni razionali (seconda parte) - Esempi
- Sostituzioni razionalizzanti: funzioni razionali di esponenziali e radici, potenze negative dispari di sin x e cos x
- Sostituzioni razionalizzanti: radici di polinomi di secondo grado, sostituzioni trigonometriche, formule parametriche
- Integrali impropri: spezzamento in integrali monoproblema, definizioni nel caso monoproblema
- Integrali impropri: esempi classici con problemi a 0 e +infinito
- Integrali impropri: criterio del confronto e del confronto asintotico per integrande positive. Esempi di applicazione dei criteri
- Integrali impropri: assoluta integrabilità, integrali con problemi in punti diversi dall'origine
- Integrali impropri: trucco dell'integrazione per parti, primo esempio di "metodo dei triangolini"
- Numeri complessi: forma cartesiana. Operazioni algebriche, coniugato, modulo
- Numeri complessi: formula trigonometrica. Prodotto, reciproco, coniugato in forma trigonometrica
- Numeri complessi: formula esponenziale. Potenze n-esime di un numero complesso. Esempi ed esercizi
- Numeri complessi: radici n-esime
- Esercizi misti sul programma finora svolto
- Teorema fondamentale dell'algebra e fattorizzazioni di polinomi sui complessi
- Fattorizzazione sui reali di polinomi a coefficienti reali
- Numeri complessi: esponenziale e logaritmo complesso. Funzioni iperboliche di numeri complessi
- Seno e coseno di un numero complesso
- Esercizi di ricapitolazione sui numeri complessi
- Equazioni differenziali: nomenclatura
- Equazioni differenziali: problema di Cauchy, teoremi di esistenza e di unicità, esempio di non esistenza
- Equazioni differenziali: intervallo massimale di esistenza, tempo di vita, blow-up, break-down
- Equazioni differenziali a variabili separabili: metodo di risoluzione
- Esempi di risoluzione e studio di equazioni differenziali a variabili separabili
- Equazioni differenziali lineari omogenee: struttura dell'insieme delle soluzioni. Metodo per determinare una base nel caso di equazioni di ordine 2
- Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine k a coefficienti costanti. Equazioni non omogenee con secondo membro esponenziale
- Equazioni differenziali lineari non omogenee con secondo membro polinomiale o trigonometrico
- Equazioni differenziali lineari non omogenee: metodo di variazione delle costanti
- Equazioni differenziali lineari del prim'ordine (anche a coefficienti non costanti)
- Confronti serie-integrali
- Serie di potenze: raggio di convergenza e formula per calcolarlo, serie di Taylor
- Calcolo della somma di serie di potenze riconducendole ad opportune serie di Taylor. Teorema di scambio serie-integrali
- Varianti del teorema di Weierstrass
- Esercizi misti sullo studio di funzioni
- Esercizi misti sugli integrali impropri
- Esercizi misti (più impegnativi) sugli integrali impropri
- Studio di un'equazione differenziale senza una formula esplicita per la soluzione. Esempio di studio qualitativo della soluzione di una equazione differenziale
- Esercizi misti (anche impegnativi) sulle successioni per ricorrenza
- O grande ed equivalenza asintotica. Ordine di infinitesimo e parte principale. Esercizi misti conclusivi
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Rapporto generato da AVInaptic (18-11-2007) in data 21 ott 2011, h 14:10:14
Si ringrazia il professor Massimo Gobbino per aver acconsentito alla creazione di questa release.
- Orario: Generalmente dalle 11:00pm alle 08:00am
- Banda: da 20kB/s a 60kB/s
