Forum Studenti

Inserisco anch'io un problema, impegnativo ma non difficilissimo. Ricchi premi per chi riesce a risolverlo .

Si prenda una lattina cilindrica con raggio base r ed altezza h. All'inizio la lattina è piena e la base superiore è completamente aperta. Ora iniziamo ad inclinare la lattina, versando il contenuto finché la superficie libera del liquido passa esattamente per il centro della base inferiore. Determinare la percentuale del contenuto che è ancora presente nella lattina.

Data la sezione probabilmente si dovrà fare con qualche integrale più o meno complesso, ma della serie "tutti in cucina a provare con un bicchiere" sarà mica 1/3?

Io ho provato così: innanzi tutto si calcola il volume della lattina piena (pi greco volte area di base per altezza), poi si considera la figura solida formata dall'acqua quando la lattina è nella posizione finale. Ho pensato che si tratta di un semi-cono con asse coincidente con una generatrice. La sezione della figura è una semicirconferenza di raggio decrescente con l'altezza. Impostando un integrale triplo per sezioni ho trovato che il volume residuo è 1/6 dell'originale, ovviamente sperando che il ragionamento e i calcoli siano corretti!
Ma se è giusto che ho vinto?

Prima di parlare dei ricchi premi, occorrerebbe che la tua soluzione fosse condivisa anche da altri utenti. Per il momento abbiamo una risposta 1/3 e una risposta 1/6. Che dicono gli altri?

più che altro non ci sono penalità per chi tira una risposta sbagliata vero? ^_^

Ovviamente non ce ne sono. Comunque non serve tanto sparare delle risposte, quanto fornire delle motivazioni in grado di convincere gli altri.

Il volume della lattina piena è: pigreco * r^2 * h.
Il volume della lattina inclinata si ottiene notando semplicemente che è uguale alla metà del volume di un cono di raggio r ed altezza h,
Volume cono : (pigreco * r^2 * h) /3.
Volume metà cono: (pigreco * r^2 * h) /6.
Quindi il rapporto tra il volume iniziale e quello finale è 1/6, in percentuale circa il 16,67 %.

Se qualcuno è convinto della soluzione di jbjf si faccia avanti apertamente. Se qualcuno non è convinto spieghi perché. L'importante è non rimanere indifferenti.

jbjf wrote:Il volume della lattina piena è: pigreco * r^2 * h.
Il volume della lattina inclinata si ottiene notando semplicemente che è uguale alla metà del volume di un cono di raggio r ed altezza h,
Volume cono : (pigreco * r^2 * h) /3.
Volume metà cono: (pigreco * r^2 * h) /6.
Quindi il rapporto tra il volume iniziale e quello finale è 1/6, in percentuale circa il 16,67 %.

boh! ci provero'

jbjf wrote: Il volume della lattina inclinata si ottiene notando semplicemente che è uguale alla metà del volume di un cono di raggio r ed altezza h,

è questo secondo me il passaggio più oscuro....siamo sicuri che sia vero?

Il passaggio è sicuramente illogico fisicamente anche se può sembrare giusto matematicamente, come può una superfice di un liquido essere curva come lo è quella del cono ?
Immaginiamo di guardare la lattina inclinata di fronte, noi vediamo solamente un piano che si restringe procedendo verso l'uscita della lattina.
La soluzione quindi non è banale come poteva sembrare in un primo momento, d'altra parte se tutti i problemi si potessero risolvere con formule da seconda media inferiore gli integrali tripli per cosa sarebbero stati inventati ?

The Boss wrote:

jbjf wrote: Il volume della lattina inclinata si ottiene notando semplicemente che è uguale alla metà del volume di un cono di raggio r ed altezza h,

è questo secondo me il passaggio più oscuro....siamo sicuri che sia vero?

Anche secondo me non è molto chiaro... secondo me il volume "vuoto" della lattina è 1/2 del volume totale - 1/2 del volume del cono di raggio r ed altezza h.

Giusto per questo ho pensato di fare la prova, anche se è un metodo palesemente scorretto ^^

Ho provato a risolvere il problema con un metodo puramente analitico:
ho posto il cilindro con il centro della base inferiore nell'origine degli assi cartesiani (appoggiato sul piano xy), dopodichè ho trovato il piano formato dalla superficie del liquido (z=(l/r)x). A questo punto ho risolto l'integrale triplo "per colonne", integrando (in coordinate polari) in dxdy sulla metà del cerchio di base, e su dz tra z=0 e z=(l/r)x. Il rapporto tra il volume ottenuto e quello iniziale è 2/(3*pigreco), corrispondente al 21,22% circa.

pesce d'Arno wrote:Ho provato a risolvere il problema con un metodo puramente analitico:
ho posto il cilindro con il centro della base inferiore nell'origine degli assi cartesiani (appoggiato sul piano xy), dopodichè ho trovato il piano formato dalla superficie del liquido (z=(l/r)x). A questo punto ho risolto l'integrale triplo "per colonne", integrando (in coordinate polari) in dxdy sulla metà del cerchio di base, e su dz tra z=0 e z=(l/r)x. Il rapporto tra il volume ottenuto e quello iniziale è 2/(3*pigreco), corrispondente al 21,22% circa.

condordo pienamente con te pesce d'Arno