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Ho dei problemi a rispondere a questo quesito:

Sia V3 lo spazio vettoriale dei vettori ordinari a tre dimensioni . La funzione f: V3 -> V3 cosi` definita:
f(u) = (u * ( i+j )) u

a. e` lineare e ha dim Ker f = 1
b. ha immagine ridotta ad un solo vettore
c. non e` lineare
d. e` un endomorfismo semplice


Pareri?

Io non capisco proprio la notazione. Cosa vuol dire u * (i+j)? Quanto fa f(2,1,5)?

il simbolo * sta per prodotto scalare
i, j, k credo che si riferisca ad una base (quella canonica) di V3, mentre u e` un vettore generico di V3

e` corretto dire che f(2,1,5) = ( (2,1,5) * (1,1,0)) (2,1,5) = 3 (2,1,5) ?

Beh, allora quanto fa f(1,0,0)? E quanto fa f(2,0,0)? Questo dovrebbe bastare per rispondere ...

Un'altra curiosità: cos'è un endomorfismo semplice?

Sia V un K-sp vettoriale
f: V ->V e` un endomorfismo semplice se esiste una base C di V t.c. la matrice D associata a f rispetto alle basi C (in partenza e in arrivo) sia diagonale. A = P D P(^-1)
P e` la matrice di passaggio che ha come colonne le basi degli autospazi

Per verificare se f e` semplice, scrivo la matrice A associata a f rispetto alle basi canoniche (in partenza e in arrivo per semplificarmi la vita) e mi calcolo il polinomio caratteristico: |A-tI|=0
Le radici del p.c. sono gli autovalori, i quali avranno delle rispettive molteplicita`. Se tutti gli autovalori appartengono al K-sp vettoriale e se tutte le molteplicita` son uguali a 1, allora f e` semplice.
Nel caso peggiore in cui per un dato autovalore la molteplicita` e` > 1, devo controllare che l'autospazio associato a quell'autovalore abbia dimensione uguale alla molteplicita`. Se non fosse verificata quest'ultima condizione f non e` lineare.

Spero di non aver detto boiate



rispondendo alla prima invece:
f e` lineare se e solo se:
1. f(v+v') = f(v)+f(v')
2. f(tv) = t f(v) , per ogni t appartenente al K-sp

quindi:
f(1,0,0) = (1,0,0)
f(2,0,0) = (4,0,0)
f(1,0,0) + f(2,0,0) = (5,0,0)

f( (1,0,0)+(2,0,0) ) = f(3,0,0) = (9,0,0)

essendo f(v+v') != f(v)+f(v') non soddisfo la prima condizione delle applicazioni lineari

david wrote:f(1,0,0) = (1,0,0)
f(2,0,0) = (4,0,0)

e visto che f(2,0,0) non è il doppio di f(1,0,0) ...

...non soddisfa neanche la seconda condizione : )

Grazie mille prof!



p.s. algebra lineare e geometria analitica, apre la mente : D