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Ciao a tutti
Devo dimostrare una cosa sugli spazi di funzioni
Sia \(\mathbb{X}=\){\(f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} ,\) funzioni limitate}
Definiamo la distanza \(d(f,g):= sup\){\(|f(x)-g(x)|\) con \(x\in[0,1]\)}
Voglio dimostrare che \((\mathbb{X},d)\) è un metrico completo
Che è metrico nessun problema, ma come dimostro la convergenza delle successioni di cauchy?
In realtà so che il fatto che \((\mathbb{X},d)\) sia completo vale per un qualsiasi spazio di funzioni che abbia in arrivo un metrico completo (come \(\mathbb{R}\) nel nostro caso) anzi, in realtà vale anche un "se e solo se". Cioè \((\mathbb{X},d)\) è completo se e solo se lo spazio in arrivo delle funzioni è completo.
Idee per la dimostrazione?

Intanto conquistiamo la convergenza puntuale

[+] puntuale

Se \(\{f_n\}\) è di Cauchy nello spazio di funzioni, allora \(\{f_n(x)\}\) è di Cauchy in arrivo per ogni \(x\) in partenza

Poi passiamo alla uniforme

[+] uniforme

Scriviamo cosa vuol dire che la \(\{f_n\}\) è di Cauchy nello spazio di funzioni, poi mandiamo all'infinito uno dei due indici.

Infine, se proprio dobbiamo, ci possiamo occupare del viceversa

[+] viceversa

Basta considerare funzioni costanti ...

Se servono altri dettagli basta chiedere.

Tutto chiaro, la rigrazio