Spazi metrici

[EmanueleBelli]

Ciao a tutti
Devo dimostrare una cosa sugli spazi di funzioni
Sia $\mathbb{X}=${$f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} ,$ funzioni limitate}
Definiamo la distanza $d(f,g):= sup${$|f(x)-g(x)|$ con $x\in[0,1]$}
Voglio dimostrare che $(\mathbb{X},d)$ è un metrico completo
Che è metrico nessun problema, ma come dimostro la convergenza delle successioni di cauchy?
In realtà so che il fatto che $(\mathbb{X},d)$ sia completo vale per un qualsiasi spazio di funzioni che abbia in arrivo un metrico completo (come $\mathbb{R}$ nel nostro caso) anzi, in realtà vale anche un "se e solo se". Cioè $(\mathbb{X},d)$ è completo se e solo se lo spazio in arrivo delle funzioni è completo.
Idee per la dimostrazione?

[Massimo Gobbino]

Intanto conquistiamo la convergenza puntuale

[+] puntuale

Se $\{f_n\}$ è di Cauchy nello spazio di funzioni, allora $\{f_n(x)\}$ è di Cauchy in arrivo per ogni $x$ in partenza

Poi passiamo alla uniforme

[+] uniforme

Scriviamo cosa vuol dire che la $\{f_n\}$ è di Cauchy nello spazio di funzioni, poi mandiamo all'infinito uno dei due indici.

Infine, se proprio dobbiamo, ci possiamo occupare del viceversa

[+] viceversa

Basta considerare funzioni costanti ...

Se servono altri dettagli basta chiedere.

[EmanueleBelli]

Tutto chiaro, la rigrazio