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Ciao, stavo con Stefano a fare questo esercizio di analisi e mi sono imbattuto nel seguente esercizio di cui volevo un parere:
dimostrare che:
Sia [tex]A\subseteq\mathbb{R}[/tex] un insieme e sia [tex]Int(A)=A=Clos(A)[/tex], allora [tex]A=\mathbb{R}[/tex] oppure [tex]A=\emptyset[/tex].

La mia dimostrazione era la seguente:

Consideriamo [tex]A\subseteq\mathbb{R}[/tex] e supponiamolo non vuoto. Allora [tex]\exists x_0 \in A[/tex].

Definiamo [tex]T=\left\{x_0 +r \mid \left (x_0 , x_0+r\right )\subseteq A, r\ge 0 \right\}=[/tex][tex]\left\{x_0+r \mid \left [x_0, x_0+r]\right \subseteq A, r\ge 0 \right\}[/tex], in particolare [tex]T \subseteq A[/tex]

Supponiamo per assurdo [tex]\sup T=L\in\mathbb{R}[/tex] (il [tex]\sup[/tex] esiste perche' essendoci almeno [tex]x_0\ne\emptyset[/tex]allora per la caratterizzazione di [tex]\sup:[/tex] [tex]\left (L-\epsilon, L \right ] \cap T \ne

\emptyset \quad \forall \epsilon>0[/tex], essendo [tex]T\subseteq A[/tex] si ha anche che [tex]\left (L-\epsilon, L \right ] \cap A \ne \emptyset \quad \forall \epsilon>0[/tex], cioe' [tex]L\in Clos(A)=A[/tex]

[tex]A=Int(A) \rightarrow (L-\epsilon,L+\epsilon) \subseteq A[/tex], [tex]A=Clos(A) \rightarrow [L-\epsilon, L+\epsilon]\subseteq A[/tex].

Ma allora [tex][x_0,L] \cup [L-\epsilon, L+\epsilon]= [x_0, L+\epsilon] \subseteq A[/tex] da cui [tex]\sup T=L+\epsilon[/tex].

Assurdo