Devo dimostrare una cosa sugli spazi di funzioni
Sia \(\mathbb{X}=\){\(f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} ,\) funzioni limitate}
Definiamo la distanza \(d(f,g):= sup\){\(|f(x)-g(x)|\) con \(x\in[0,1]\)}
Voglio dimostrare che \((\mathbb{X},d)\) è un metrico completo
Che è metrico nessun problema, ma come dimostro la convergenza delle successioni di cauchy?
In realtà so che il fatto che \((\mathbb{X},d)\) sia completo vale per un qualsiasi spazio di funzioni che abbia in arrivo un metrico completo (come \(\mathbb{R}\) nel nostro caso) anzi, in realtà vale anche un "se e solo se". Cioè \((\mathbb{X},d)\) è completo se e solo se lo spazio in arrivo delle funzioni è completo.
Idee per la dimostrazione?
