f(x) + g(x) = x

[Gamaranto]

Posto qui la mia soluzione perché non so in che sezione metterla, qualcuno può dirmi se è giusta?

Prendo \(B=\left\{b_i | i \in I \right\}\) come base di \(\mathbb R\) visto come \(\mathbb Q\)-spazio vettoriale, allora
\(\forall\ x \in\mathbb R \space x= \sum_{i \in I} r_i b_i\) dove \(r_i \in \mathbb Q \forall i\) .

Allora considero la funzione \(f_b (x)\)che associa ad ogni \(x\) reale il coefficiente di uno specifico \(b \in \ B\) nella scrittura di \(x\) come combinazione lineare degli elementi di \(B\).
Allora segue che \(f_b(x+y) = f_b(x)+f_b(y)\) (si tratta solo di sommare due somme finite ) e che \(b' \in B , \ b'\not = b \Rightarrow f_b(b')=0\) infatti \(B\) è una base e dunque i suoi elementi sono linearmente indipendenti.

\(\forall x \in \mathbb R \ \forall b' \in B/b \ f_b(x+b')=f_b(x)+f_b(b')= f_b(x)\) dunque \(f_b\) è periodica.

Allora prese \(f(x) = f_b(x)b\) e \(g(x) = \sum_{b_i \in B/b} f_{b_i}(x)b_i\) ,\(f(x)\) ha periodo \(T=c\) con \(c\not = b \ \ c \in B\) e \(g(x)\) ha periodo \(b\), ma \(f(x)+g(x)=x\)