Quesito di Algebra

[Isaac888]

Salve a tutti !!!

Sono nuovo di questo tipo di forum, perciò spero che sappiate perdonare qualche mia eventuale gaffe in ciò che sto per scrivere:p...

Svolgendo i quesiti delle fasi nazionali di Cesenatico 2006 che ho trovato in internet mi sono imbattuto in questo quesito:

Trovare il valore massimo della x per cui

(x+1184)^(1/3) - (x-1184)^(1/3) = 4

Scoprendo che è impossibile usare l'analisi e facendo un pò di calcoli, sono riuscito a dimostrare che ESISTE ED è UNICO il VALORE X, ed è anche un NUMERO NATURALE>1184...
dopo altri passaggi ho trovato la soluzione attraverso delle iterazioni mirate ed ho trovato che X=2912, che è il risultato corretto!
Per finire tutto questo però ho impiegato quasi un ora!

Quindi la mia domanda è: Avrei dovuto fare delle altre considerazioni per risolverlo in molto molto meno tempo? o sono semplicemente troppo lento io?

ps:Accetto critiche:p! Grazie mille a chiunque mi risponda

Il numero è la legge dell'universo.

[GIMUSI]

mi pare risolvibile facilmente con la seguente sostituzione:

[tex]x+1184=y^3[/tex]

si ottiene:

[tex]x-1184=y^3-2368[/tex]

[tex]y-(y^3-2368)^{1/3}=4[/tex]

[tex]y-4= (y^3-2368)^{1/3}[/tex]

elevando al cubo entrambi i membri:

[tex]y^3-12y^2+48y-64=y^3-2368[/tex]

da cui:

[tex]12y^2-48y-2304=0[/tex]

che ha per soluzione massima:

[tex]y=2912[/tex]