Caro Prof,
io ed alcuni amici ci siamo trovati a dover studiare un po' di topologia, e non riusciamo a capire le differenze tra un insieme completo ed uno compatto. Ovviamente sappiamo bene che un completo può essere illimitato, ma oltre a questo non sappiamo che dire...
grazie!
Topologia - sottile differenza
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Massimo Gobbino
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Beh, sono due cose abbastanza diverse. Ad esempio compatto è un concetto topologico, mentre completo è un concetto metrico.
Tra i due concetti c'è un'implicazione, visto che nei metrici compatto implica completo. Non vale ovviamente il viceversa (l'insieme degli interi è completo, ma non compatto). Vale però che nei metrici completo + totalmente limitato (cercate la definizione) implica compatto. Da questo punto di vista la completezza è un ingrediente su 2 della compattezza (sempre nei metrici, mi raccomando).
Tra i due concetti c'è un'implicazione, visto che nei metrici compatto implica completo. Non vale ovviamente il viceversa (l'insieme degli interi è completo, ma non compatto). Vale però che nei metrici completo + totalmente limitato (cercate la definizione) implica compatto. Da questo punto di vista la completezza è un ingrediente su 2 della compattezza (sempre nei metrici, mi raccomando).