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Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Thursday 23 December 2021, 16:41
by MadMath
\(|x-3|^{x^2-4x+3}<1 \)
\(\begin{cases}
x-3\ge 0 && x\ge 3 && x\ge 3 \\
&&x-3>1 && x>4 && 1° sistema: x \in \emptyset \\
(x-3)^{x^2-4x+3}<1 && (x-3)^{x^2-4x+3}<(x-3)^{0} && 1\lt x\lt 3
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x-3<0 && x<3 && x<3 \\
&&3-x>1, && x<2 && 2° sistema: x \in (1,2) \\
(3-x)^{x^2-4x+3}<1 && (3-x)^{x^2-4x+3}<(3-x)^{0} && 1\lt x\lt 3
\end{cases} \)
\(Unione: x \in (1,2)\)
Dove sbaglio?
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Friday 24 December 2021, 9:52
by Massimo Gobbino
Beh, intanto per sostituzione si verifica facilmente che \(x=7/2\) soddisfa la disequazione. Cerca ora di capire dove ti perdi quella soluzione nel tuo procedimento.
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Friday 24 December 2021, 12:04
by MadMath
Grazie per la risposta.
Osservando la soluzione dell'esercizio, sono sicuro che ci sono diversi errori almeno nel
primo sistema, ed in particolare qui (in colore rosso e in blu):
\(\begin{cases}
x-3\ge 0 && x\ge 3 && x\ge 3 \\
&&\color{Red}{x-3 > 1} && \color{Red} {x>4} && 1° sistema: \color{DarkRed} {x \in \emptyset} \\
(x-3)^{x^2-4x+3} \color{Blue}<\color{Black}1 && (x-3)^{x^2-4x+3}\color{Blue}<\color{Black}(x-3)^{0} && \color{Blue} {1\lt x\lt 3}
\end{cases}\)
La condizione
x-3 > 1 l'ho messa per semplificare la base ( x-3 ) ed operare in seguito sugli esponenti, dalla teoria infatti:
\(
a^{A(x)} \gt a^{B(x)} \Leftrightarrow A(x) \gt B(x) \hspace{3em} \ solo\ per\ a \gt1
\)
questa condizione ( x > 4 ) però compromette la soluzione quando faccio l'intersezione con le altre disuquaglianze del primo sistema e, ...a naso, direi che puzza. Sarebbe bello ottenere la condizione x < 4.
Al posto del segno
< ( in blu ) mi piacerebbe avere un segno
> in modo da avere, come soluzione, i valori x esterni a 1 e 3; detto questo, mi chiedo:
- l'intuizione è giusta?
- se fosse giusta, come si giustificherebbe con la teoria?
- [+] Oppure...
- ...ho preso una via errata e sono finito in un burrone?
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Friday 24 December 2021, 12:30
by Massimo Gobbino
MadMath wrote: ↑Friday 24 December 2021, 12:04
La condizione
x-3 > 1 l'ho messa per semplificare la base ( x-3 ) ed operare in seguito sugli esponenti, dalla teoria infatti:
L'intenzione è buona, ma così si taglia via tutto l'altro caso, cioè quello in cui la base sta tra 0 e 1, caso in cui la semplificazione si può fare ma invertendo i versi. Detto altrimenti, volendo seguire questa via il primo sistema genera a sua volta due sottocasi. Per lo stesso motivo anche il secondo sistema genera due sottocasi.
- [+] Alternativa
-
Scrivere la disequazione come
\((x^2-4x+3)\cdot\log|x-3|<0\)
quindi studiare separatamente i due fattori e concludere con la regola dei prodotti.
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Friday 24 December 2021, 15:45
by MadMath
- [+] Adesso dovrebbe essere corretto
-
\(|x-3|^{x^2-4x+3}<1 \)
\(\begin{cases}
\color{Red} {x-3\ge 0} && x\ge 3 && x\ge 3 \\
&&x-3>1 && x>4 \hspace{5em} S 1'= x \in \emptyset \\
(x-3)^{x^2-4x+3}<1 && (x-3)^{x^2-4x+3}<(x-3)^{0} && 1\lt x\lt 3
\end{cases}\)
\(\hspace{39em} S1=\: S1' \cup S1''= x \in (3,4)\\\)
\(\begin{cases}
\color{Red} {x-3\ge 0} && x\ge 3 && x\ge 3 \\
&&0<(x-3)<1 && x<4 \hspace{5em} S 1''= x \in (3,4) \\
&& && x >3 \\
(x-3)^{x^2-4x+3} \color{Green}>1 && (x-3)^{x^2-4x+3}>(x-3)^{0} && x<1\\
\end{cases}\)
\(\hspace{53em} S = S1 \cup S2= x \in (1,2) \cup (3,4)\)
\(\begin{cases}
\color{Blue} {x-3<0} && x<3 && x<3 \\
&&3-x>1 && x<2 \hspace{5em} S 2'= x \in (1,2) \\
(3-x)^{x^2-4x+3}<1 && (3-x)^{x^2-4x+3}<(3-x)^{0} && 1\lt x\lt 3
\end{cases} \)
\(\hspace{39em} S2=\: S2' \cup S2''= x \in (1,2)\\\)
\(\begin{cases}
\color{Blue} {x-3<0} && x<3 && x<3 \\
&&0<(3-x)<1 && x>2 \hspace{5em} S 2''= x \in \emptyset \\
&& && x>3\\
(3-x)^{x^2-4x+3} \color{Green}>1 && (3-x)^{x^2-4x+3}>(3-x)^{0} && x<1\\
\end{cases}\\ \)
Tra una imprecazione ed un'altra nel risolvere l'esercizio, ho anche preso confidenza con LaTex.
Appena possibile proverò la via suggerita nello spoiler, grazie professore.
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Friday 24 December 2021, 16:47
by Massimo Gobbino
Ora va molto meglio
.
Ad essere pignoli, occorrerebbe dire due paroline sui casi in cui la base è 0 oppure 1, che nello svolgimento attuale ad un certo punto restano fuori dalla discussione.
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Friday 24 December 2021, 23:11
by MadMath
- [+] Soluzione potenzialmente criminosa...
-
\(|x-3|^{x^2-4x+3}<1 \)
\(\begin{cases}
\color{Red} {x-3\ge 0} && x\ge 3 && x\ge 3 \\
&&x-3>1 && x>4 \hspace{5em} S 1'= x \in \emptyset \\
(x-3)^{x^2-4x+3}<1 && (x-3)^{x^2-4x+3}<(x-3)^{0} && 1\lt x\lt 3
\end{cases}\\\)
\(\begin{cases}
\color{Red} {x-3\ge 0} && x\ge 3 && x\ge 3 \\
&&0<(x-3)<1 && x<4 \hspace{5em} S 1''= x \in (3,4) \\
&& && x >3 \\
(x-3)^{x^2-4x+3} \color{Green}>1 && (x-3)^{x^2-4x+3}>(x-3)^{0} && x<1\\
\end{cases}\\
\hspace{39em} S1=\: S1' \cup S1'' \cup S1''' \cup S1^{iv} = x \in (3,4)\\
\begin{cases}
\color{Red} {x-3 \ge 0} && x \ge 3 &&& x \ge 3 \\
&& x-3=1 &&& x=4 \hspace{11em} S 1'''= x \in \emptyset \\
(x-3)^{x^2-4x+3} < 1 && 1^{3}<1 &&& \rightarrow FALSO\\
\end{cases}\\\)
\(\begin{cases}
\color{Red} {x-3 \ge 0} && x \ge 3 && x \ge 3 \\
&& x-3=0 && x=3 \hspace{12em}S1^{iv}= x \in \emptyset \\
(x-3)^{x^2-4x+3} < 1 && 0^{0}<1 && \rightarrow INDEFINITO\\
\end{cases}\\
\hspace{53em} S = S1 \cup S2= x \in (1,2) \cup (3,4)\\
\begin{cases}
\color{Blue} {x-3<0} && x<3 && x<3 \\
&&3-x>1 && x<2 \hspace{5em} S 2'= x \in (1,2) \\
(3-x)^{x^2-4x+3}<1 && (3-x)^{x^2-4x+3}<(3-x)^{0} && 1\lt x\lt 3
\end{cases} \\
\hspace{39em} S2=\: S2' \cup S2'' \cup S2''' = x \in (1,2)\\
\begin{cases}
\color{Blue} {x-3<0} && x<3 && x<3 \\
&&0<(3-x)<1 && x>2 \hspace{5em} S 2''= x \in \emptyset \\
&& && x>3\\
(3-x)^{x^2-4x+3} \color{Green}>1 && (3-x)^{x^2-4x+3}>(3-x)^{0} && x<1
\end{cases}\\\)
\(\begin{cases}
\color{Blue} {x-3<0} && x<3 && x<3 \\
&& 3-x=1 && x=2 \hspace{12em} S2'''= x \in \emptyset \\
(3-x)^{x^2-4x+3} < 1 && 1^{-1}<1 && \rightarrow FALSO\\
\end{cases}\\
\)
Quando si pone la base uguale a 1, e uguale a 0, è corretto mantenere il verso della disuguaglianza di partenza?
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Saturday 25 December 2021, 11:15
by Massimo Gobbino
MadMath wrote: ↑Friday 24 December 2021, 23:11
Quando si pone la base uguale a 1, e uguale a 0, è corretto mantenere il verso della disuguaglianza di partenza?
Quei casi si trattano per sostituzione diretta, senza tante storie.
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Saturday 25 December 2021, 16:27
by MadMath
- [+] Utilizzando la alternativa del professore
-
\(
|x-3|^{x^2-4x+3}<1 \hspace{1em} \rightarrow \hspace{1em} f(x) = (x^2-4x+3)\log|x-3|<0
\)
\(
Studio\ x^2 - 4x + 3 \\
\hspace{2em} x^2 - 4x + 3 > 0 \hspace{3em} x \in ( -\infty , 1 ) \cup (3 , +\infty ) \\
\hspace{2em} x^2 - 4x + 3 = 0 \hspace{3em} x \in \{ 1 \} \cup \{ 3 \} \\
\hspace{2em} x^2 - 4x + 3 < 0 \hspace{3em} x \in ( 1 ,3 )
\)
\(
Studio\ \log|x-3| \\ { \\
\hspace{2em}\color{Red} {\ x-3\ge 0} \hspace{5em} x\ge 3 \\\\
\hspace{2em}\log(x-3) > 0 \hspace{3em} x-3 > 1 \hspace{8em} x>4 \\
\hspace{2em}\log(x-3) = 0 \hspace{3em} x-3 = 1 \hspace{8em} x=4 \\
\hspace{2em}\log(x-3) < 0 \hspace{3em} 0<(x-3) < 1 \hspace{5em} \ 3 < x < 4 \\
\hspace{2em}\log(x-3) \ N.D. \hspace{2em} x=3 \ \rightarrow \ Non\ Definito
}\)
\(
\hspace{2em}\color{Blue} {\ x-3 < 0} \hspace{5em} x < 3 \\\\
\hspace{2em}\log(3-x)>0 \hspace{3em} x < 2 \\
\hspace{2em}\log(3-x)=0 \hspace{3em} x = 2 \\
\hspace{2em}\log(3-x)<0 \hspace{3em} 2 < x < 3
\)
\(
\hspace{4em}\log|x-3| > 0 \hspace{3em} \ x \in (-\infty , 2)\cup (4 , +\infty) \\
\hspace{4em}\log|x-3| = 0 \hspace{3em} x \in \{ 2 \} \cup \{ 4 \} \\
\hspace{4em}\log|x-3| < 0 \hspace{3em} x \in (2, 3) \cup (3,4) \\
\hspace{4em}\log|x-3|\ N.D. \hspace{2em} x \in \{ 3 \}
\)
\(
\hspace{18em} f(x) > 0 \hspace{2em} x \in (-\infty ,1) \cup (2,3) \cup (4,+\infty ) \\
\hspace{18em} f(x) = 0 \hspace{2em} x \in \{ 1 \} \cup \{ 2 \} \cup \{ 4 \} \\
\color{Green}{\hspace{10em}Soluzione:} \ \ \ \hspace{2em} \color{Green}{ f(x) < 0 \hspace{2em} x \in (1,2)\cup (3,4)} \\
\hspace{18em} f(x) \ N.D. \hspace{1em} x \in \{ 3 \} \\
\)
La soluzione dovrebbe essere accurata
...spoiler a parte che si rifiuta di nasconderla.
- [+] Edit. Ho risolto il problema con lo spoiler...
- ... non gli piace l'apostrofo nel titolo dello spoiler.
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Saturday 25 December 2021, 18:30
by Massimo Gobbino
MadMath wrote: ↑Saturday 25 December 2021, 16:27
La soluzione dovrebbe essere accurata
Ottimo.
Re: Disequazioni 7, Es. 15
Posted: Saturday 25 December 2021, 19:32
by MadMath
Con la sua alternativa lo svolgimento dell'esercizio è stato più "naturale", grazie.
Avrei ancora qualche dubbio rimasto, con il mio approccio, in merito ai risultati ottenuti quando pongo la base uguale a 1 e uguale a 0; ci penso su e magari domani scrivo un post.