Buonasera a tutti! Sto seguendo le lezioni di AM1 e provando a svolgere qualche esercizio qua e là. Ho tentato la dimostrazione dell'esercizio 3 "Numeri Reali 2". Di seguito il testo:
Siano A e B due sottoinsiemi di R non vuoti.
(a) Definiamo A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Dimostrare che:
sup(A + B) = sup A + sup B.
Mi sono ridotto al caso fossero superiormente limitati.
1) Siccome:
\( \forall a \in A, supA \geq a \hspace{0.5cm}
\forall b \in B, supB \geq b \space \implies \forall a+b \in A+B,\hspace{0.5cm} sup\space A \space + \space sup \space B \geq a+b
\)
In questo prima passaggio dovrei aver dimostrato che la somma degli estremi superiori è maggiorante di A+B
2) Per caratterizzazione di estremo superiore, sup è il minimo dei maggioranti. Suppongo allora che sup A + sup B non sia il minimo dei maggioranti di A+B, allora:
\(\exists \space \epsilon>0\space \forall a\in A,\space \forall b \in B, \space t.c. \space a+b<\space sup\space A \space+\space sup\space B\space - \epsilon \)
ma per definizione di sup:
\( \forall \epsilon>0\space \exists a\in A\space t.c.\space sup\space A -\epsilon \leq a \\
\forall \epsilon>0 \space \exists b\in B\space t.c.\space sup\space B -\epsilon \leq b\\
\implies \space sup\space A \space + \space sup\space B\space -2\epsilon \leq a\space + \space b
\)
siccome epsilon può essere "piccolo a piacere", la negazione di sup A + sup B minore dei maggioranti di A+B è un assurdo.
Chiedo gentilmente se a vostro parere il ragionamento possa funzionare,
Federico