Nota introduttiva. Le prime lezioni del mio corso di Analisi 1 non vogliono essere lezioni di Logica Matematica formale, ma soltanto una via di mezzo tra il linguaggio naturale ed il "matematichese". Quindi non sono pensate per essere del tutto formali/rigorose.
alabarba wrote: ↑Wednesday 1 July 2020, 16:30
Esempio1:
"Tutti gli studenti di matematica, che amano la geometria, odiano l'analisi" Pongo:
- s: studente
- sm: studente di matematica
- Math(x): x studia matematica
- G(x): x ama la geometria
- A(x): x odia l'analisi
Vedo due opzioni che mi sembrano entrambe valide, ma non necessariamente equivalenti:
- \( \forall sm (G(sm)) \Rightarrow (A(sm))\)
- \( \forall s (G(s) \wedge Math(s)) \Rightarrow (A(s))\)
Queste due sono veramente la stessa cosa. Io ne utilizzerei pure una terza, fatta così: introdurrei l'insieme SM degli studenti di matematica, e poi direi
\(\forall s\in SM \quad [G(s) \Rightarrow A(s)]\)
Questa ovviamente si può anche mettere in forma equivalente (l'equivalenza segue facilmente dalle tavole di verità dell'implicazione e del "vel")
\(\forall s\in SM \quad [A(s) \vee \mbox{not }G(s)]\)
Aggiungo una piccola nota stilistica: io avrei definito G(s) come "s ama la geometria" e A(s) come "s ama l'analisi", e avrei definito l'odio per l'analisi come not A(s) (assumendo ovviamente una psicologia 0/1, in cui o si odia o si ama
).
Nelle due proposizioni di sopra si rispetta l'indicazione che ricordo sempre, e cioè di quantificare dicendo dove sta la variabile che si sta quantificando. I logici un giorno spiegheranno che, per dire che ogni elemento a dell'insieme A soddisfa la proprietà P(a) si può scrivere
\(\forall a\in A\quad P(a)\)
ma anche (quantificando senza specificare dove)
\(\forall a\ [a\in A\Rightarrow P(a)]\)
Quest'ultima la trovo un po' una perversione, dunque la evito.
alabarba wrote: ↑Wednesday 1 July 2020, 16:30
Esempio2:
"Nessun grasso ama la geometria" Pongo:
- p: persona
- Grasso(x): x è grassa
- G(x): x ama la geometria
Anche qui vedo almeno due opzioni non necessariamente equivalenti:
- \( \nexists p: (Grasso(p) \wedge G(x)) \)
- \( \forall p (Grasso(p)) \Rightarrow (\nexists p: G(p))\)
Qui la seconda non mi sembra per nulla chiara, oltre al fatto che servirebbero delle parentesi per chiarire meglio a chi si riferisce la prima quantificazione.
Io introdurrei l'insieme P delle persone e poi direi
\( \not\exists p\in P\ [\mbox{Grasso}(p) \wedge G(p)] \)
che poi è sostanzialmente la prima delle tue. In alternativa
\(\forall p\in P\ [G(p)\Rightarrow \mbox{not Grasso}(p)] \)
Dimostrare l'equivalenza tra queste due è un ottimo esercizio.
- [+] Hint_Esercizio
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La prima (per negazione di predicati quantificati) è equivalente a
\(\forall p\in P\ \mbox{not}[\mbox{Grasso}(p) \wedge G(p)] \)
Ora si tratta di verificare (ad esempio con le tavole di verità) che \(\mbox{not}[A \wedge B]\) è equivalente a \(B\Rightarrow\mbox{not} A\)