Insiemi: presentazione per elenco e per proprietà

[alabarba]

Salve a tutti,

mi chiamo Antonio ho 37 anni, non sono iscritto all'università e sto studiando online le lezioni di Analisi 1 per matematica 2016/17

Ho un dubbio riguardo la presentazione per elenco nella modalità:
\( \{n^2 : n \in N \}\)

Come detto a lezione (seconda lezione minuto 28.55), si tratta di una presentazione per elenco "equivalente" a dire: "prendi tutti i naturali, fanne il quadrato e poi inserisci tutti questi quadrati tra le parentesi graffe" il che genera un elenco.

Sempre per quanto detto a lezione la presentazione per proprietà è nella forma
\(\{ x \in insieme : P(x)\}\) dove P(x) è un predicato sul parametro x

Tuttavia non mi è totalmente chiaro come posso distinguere, operativamente, una presentazione per elenco come quella di sopra da una per proprietà.
Nello specifico: \(n \in N \) è un predicato sul parametro n, quindi la forma dell'espressione in alto è per certi versi assimilabile alla presentazione per proprietà. La differenza dipende forse dal fatto che \( \in insieme \) in una presentazione per proprietà si trova prima del "tale che"?

In questo caso, però, non capisco perchè la definizione dell'insieme delle parti (al minuto 36.26 della seconda lezione) è per proprietà:
\(P(A)= \{ B: B \subseteq A \}\)

\(\subseteq A\) per me è logicamene assimilabile a \(\in insieme\)

Cosa cambia dunque tra quest'ultima presentazione e quella iniziale?

Grazie!

[Massimo Gobbino]

Stesso caveat di sempre. Queste prime lezioni sono un ponte tra l'intuizione ed un linguaggio più strutturato, non un'introduzione alla teoria degli insiemi (nella quale, per inciso, ci si guarda bene dal parlare di presentazioni per elenco e per proprietà).

Nello specifico: \(n \in N \) è un predicato sul parametro n, quindi la forma dell'espressione in alto è per certi versi assimilabile alla presentazione per proprietà.

Ni, ad essere davvero precisi quello è un predicato a due variabili (l'elemento e l'insieme). Ma il discorso qui voleva essere un altro, e cioè trattare insiemi definiti da scritture del tipo (per maggior chiarezza aumento il numero di variabili)

\(\{f(a,b,c):a\in A,\ b\in B,\ c\in C\},\)

dove si intende che f(a,b,c) è qualcosa che prende in pasto tre elementi dai tre insiemi A, B, C e restituisce un certo oggetto. L'unione di tutti questi oggetti al variare di \(a\in A,\ b\in B,\ c\in C\) è l'insieme che stiamo definendo. Ripeto che siamo ad un livello intuitivo, ad esempio perché le funzioni non le abbiamo ancora definite in questo momento .

\(P(A)= \{ B: B \subseteq A \}\)

\(\subseteq A\) per me è logicamene assimilabile a \(\in insieme\)

Cosa cambia dunque tra quest'ultima presentazione e quella iniziale?

In un certo senso hai ragione: non cambia nulla. Nelle definizioni per proprietà, come hai ricordato, stiamo selezionando, tra gli elementi x di un insieme dato, quelli che verificano una certa proprietà P(x). Ora nel definire l'insieme delle parti vorrei fare lo stesso, cioè selezionare, tra tutti gli insiemi B, quelli che hanno la proprietà di essere contenuti in A. Vorrei scrivere qualcosa del tipo

\(P(A)=\{B\in\mbox{Insiemi}:B\subseteq A\}\),

dove Insiemi è l'insieme di tutti gli insiemi. Il problema è che l'insieme degli insiemi non è un insieme ...

Lo stesso problema si ha quando uno va a definire l'unione o l'intersezione. Per queste cose in teoria degli insiemi servono degli assiomi specifici.

La buona notizia è che, dopo aver sistemato questi passaggi intuitivamente "ovvi" ma formalmente seccanti, tipo definire l'unione o l'insieme delle parti, da lì in poi le cose diventano più chiare.

[alabarba]

Grazie per la risposta, adesso mi è chiaro