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Siano \(A,B, C\) insiemi, e \(G, F\) delle funzioni secondo la definizione "rigorosa" della lezione 003 con \(G \subseteq A \times B\) e \(F \subseteq B \times C\).
\(H \subseteq A \times C\) è la funzione composta definita in questo modo:
\(\forall a \in A\) prendo l'unico \(b \in B\) per cui \((a, b) \in G\) e poi prendo l'unico \(c\) per cui \((b, c) \in F\), in questo modo ho sempre un unico \(c\) per cui \((a, c) \in G\)
Possiamo poi definire \(f(g(a))\) come l'unico \(c \in C\) che rispetta la relazione \(H\).

Quello che uno vorrebbe fare è definire H a partire da F e G, senza mai nemmeno nominare le fantomatiche "leggi" f e g.

Siano A, B, C tre insiemi non vuoti;

sia F \(\subseteq\) A\(\times\)B tc. F è una funzione.
sia G \(\subseteq\) B\(\times\)C tc. G è una funzione.

dove la proposizione "è una funzione" significa tutto quello scritto al punto 2, riadattando i nomi.

considero ora il seguente insieme:

H= { (a,c) \(\in\) A \(\times\) C, tc. \(\exists\) b\(\in\) B tc. ( (a,b) \(\in\) F, e (b,c) \(\in G\) }

2-ora dovrei provare che H è una funzione, cioè:

- \(\forall\) a \(\in\) A \(\exists\) c \(\in\) C, tc. (a,c) \(\in\) H;
- (a,\(c_{1}\)), (a,\(c_{2}\))\(\in\) H \(\longrightarrow\) \(c_{1}\)=\(c_{2}\);

proviamo la prima:
prendo a \(\in\) A, esiste b\(\in\) B tale che (a,b) \(\in\) F, perchè F è una funzione. ora \(\exists\)c\(\in\) C tc. (b,c)\(\in\) G, perchè G è una funzione. Ora la coppia (a,c) sta in H?
certo perchè esiste b(trovato una riga sopra) tc. succede quello che ho scritto nella definizione di H;

proviamo la seconda:
siano (a,\(c_{1}\)) e (a,\(c_{2}\)) \(\in\) H; allora esistono \(b_{1}\) e \(b_{2}\) tali che
- (a, \(b_{1}\)) \(\in\)F
-(a, \(b_{2}\)) \(\in\)F

- (\(b_{1}\), \(c_{1}\)) \(\in\)G;
- (\(b_{2}\), \(c_{2}\)) \(\in\)G;

poichè F è una funzione, \(b_{1}\)) deve essere uguale a \(b_{2}\)); (non puo essere che a assuma 2 valori)

quindi si deve avere che
- (\(b_{1}\), \(c_{1}\)) \(\in\)G;
- (\(b_{1}\), \(c_{2}\)) \(\in\)G;

poichè G è una funzione \(c_{1}\)=\(c_{2}\)( non può essere che \(b_{1}\) assuma due valori)

dimostrato ora che H è una funzione, posso finalmente chiamare H la "composizione di G con F";

Grazie!

La costruzione/dimostrazione di Giacomo è sostanzialmente corretta, a parte un po' di segni di "contenuto" che invece dovrebbero essere "appartiene".

Forse poi sarebbe stato meglio nel finale usare \(c_1\) e \(c_2\) invece di c e d, soltanto per simmetria con l'uso di \(b_1\) e \(b_2\).

Un pò in ritardo ma dovrei aver sistemato gli errori, come indicato dal professore