Forum Studenti

Salve,
nell'ultimo esercizio della Lezione 4 di Analisi 1 2014/2015 (Matematica) non mi è ben chiaro il passaggio errato nella "dimostrazione" di "Tutti gli studenti prendono lo stesso voto all'esame".

Intuitivamente ho capito che c'è la sovrapposizione o "overlappamento" (come dice il prof. Gobbino) degli studenti solo se n >= 2 mentre noi abbiamo dimostrato il passo base solo per n = 1.

Ma come si individua "rigorosamente" l'errore?

mi pare che il problema stia nel fatto che passo induttivo non funziona per passare dal caso n=1 (banale) a n=2 (non si può overlappare) e quindi si può solo dire che è vero il passo base con n=1

Ciao.
Io suppongo che con la locuzione "In maniera rigorosa", tu intenda in maniera tale che l'errore sia mostrato palesemente e non in una forma più o meno intuitiva. Pertanto, presumo che tu abbia bisogno di un ragionamento di questo tipo.

Voglio affermare che una certa \(P(n)\) sia valida \(\forall n \in \mathbb{N}\) da un certo naturale \(n_0\) in poi.
Per legittimare tale affermazione richiamando il principio di induzione, occorre che si sia provato il caso base \(P(n_0)\) e che si sia provata l'implicazione \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0\).

Nell'esempio "trappola", \(n_0=1\).
L'affermazione fatta nella prima parte della dimostrazione è valida perchè viene provato che è vera \(P(n_0)\), cioè che è vera \(P(1)\).
L'affermazione fatta nella seconda parte, invece, è errata, perchè l'implicazione che viene provata è \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2\) e non \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 1\): il metodo dell'overlappamento non è utilizzabile per \(n=1\) e \(n+1=2\), in quanto in quel caso non c'è alcun "overlappamento", cioè non posso definire due gruppi diversi composti da 1 studente, con uno studente in comune nei due gruppi, studente il quale trasporti per transitività l'uniformità del voto da un gruppo all'altro.

Se non è stato sufficiente, mi scuso per non essere stato in grado di formulare la fallacia della dimostrazione in maniera più palese.