Salve,
nell'ultimo esercizio della Lezione 4 di Analisi 1 2014/2015 (Matematica) non mi è ben chiaro il passaggio errato nella "dimostrazione" di "Tutti gli studenti prendono lo stesso voto all'esame".
Intuitivamente ho capito che c'è la sovrapposizione o "overlappamento" (come dice il prof. Gobbino) degli studenti solo se n >= 2 mentre noi abbiamo dimostrato il passo base solo per n = 1.
Ma come si individua "rigorosamente" l'errore?
"Dimostrazione assurda" per induzione
Re: "Dimostrazione assurda" per induzione
mi pare che il problema stia nel fatto che passo induttivo non funziona per passare dal caso n=1 (banale) a n=2 (non si può overlappare) e quindi si può solo dire che è vero il passo base con n=1
GIMUSI
Re: "Dimostrazione assurda" per induzione
Ciao.
Io suppongo che con la locuzione "In maniera rigorosa", tu intenda in maniera tale che l'errore sia mostrato palesemente e non in una forma più o meno intuitiva. Pertanto, presumo che tu abbia bisogno di un ragionamento di questo tipo.
Voglio affermare che una certa \(P(n)\) sia valida \(\forall n \in \mathbb{N}\) da un certo naturale \(n_0\) in poi.
Per legittimare tale affermazione richiamando il principio di induzione, occorre che si sia provato il caso base \(P(n_0)\) e che si sia provata l'implicazione \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0\).
Nell'esempio "trappola", \(n_0=1\).
L'affermazione fatta nella prima parte della dimostrazione è valida perchè viene provato che è vera \(P(n_0)\), cioè che è vera \(P(1)\).
L'affermazione fatta nella seconda parte, invece, è errata, perchè l'implicazione che viene provata è \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2\) e non \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 1\): il metodo dell'overlappamento non è utilizzabile per \(n=1\) e \(n+1=2\), in quanto in quel caso non c'è alcun "overlappamento", cioè non posso definire due gruppi diversi composti da 1 studente, con uno studente in comune nei due gruppi, studente il quale trasporti per transitività l'uniformità del voto da un gruppo all'altro.
Se non è stato sufficiente, mi scuso per non essere stato in grado di formulare la fallacia della dimostrazione in maniera più palese.
Io suppongo che con la locuzione "In maniera rigorosa", tu intenda in maniera tale che l'errore sia mostrato palesemente e non in una forma più o meno intuitiva. Pertanto, presumo che tu abbia bisogno di un ragionamento di questo tipo.
Voglio affermare che una certa \(P(n)\) sia valida \(\forall n \in \mathbb{N}\) da un certo naturale \(n_0\) in poi.
Per legittimare tale affermazione richiamando il principio di induzione, occorre che si sia provato il caso base \(P(n_0)\) e che si sia provata l'implicazione \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq n_0\).
Nell'esempio "trappola", \(n_0=1\).
L'affermazione fatta nella prima parte della dimostrazione è valida perchè viene provato che è vera \(P(n_0)\), cioè che è vera \(P(1)\).
L'affermazione fatta nella seconda parte, invece, è errata, perchè l'implicazione che viene provata è \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2\) e non \(P(n) \Rightarrow P(n+1), \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 1\): il metodo dell'overlappamento non è utilizzabile per \(n=1\) e \(n+1=2\), in quanto in quel caso non c'è alcun "overlappamento", cioè non posso definire due gruppi diversi composti da 1 studente, con uno studente in comune nei due gruppi, studente il quale trasporti per transitività l'uniformità del voto da un gruppo all'altro.
Se non è stato sufficiente, mi scuso per non essere stato in grado di formulare la fallacia della dimostrazione in maniera più palese.