dubbio sul raigonamento esercizio 7 disequazioni 9

[kyra84]

ciao a tutti.. sperando di non essere l'unica a studiare in pieno agosto .. ho bisogno di un aiutino in merito al ragionamento ..
log 2 |sinx + sqrt(3)cosx +4| <= 5

inizio a svolgerlo.. metto a sistema
sinx + sqrt(3)cosx +4 >= 0 ( per il modulo )
log 2 (sinx + sqrt(3)cosx +4) <= 5log2(2) (scusate ma non me lo ordina sarebbe log in base 2 di 2 )

ora la prima diseq la divido per 2. la seconda invece elimino il log ed ottengo
(1/2) * sinx + (sqrt3 /2) cosx + 2 >= 0
sinx + sqrt(3)cosx +4 <= 32

quindi ho
cos(pi/3)sinx + sin(pi/3)cosx >= -2 ==> sin(pi/3+x)>= -2
sinx + sqrt(3)cosx <= 28 (divido per due ed applico le formule ed ottengo ) ==> sin(PI/3+x) <= 14

dato che il seno è definito tra -1 e 1 ottengo per entrambe che -1<= sinx <= 1 quindi la soluzione è x € [0, 2PI]

e' corretto come ragionamento ? grazie anticipatamente a tutti !

[kyra84]

scusate ho dimenticato un pezzo...
l'altro sistema con il modulo <0

sinx + sqrt(3)cosx+4 < 0
log2(-sinx - sqrt(3)cosx-4) <= 5


divido per due la prima disequazione ed elimino il log nella seconda
(1/2) * sinx + (sqrt3 /2) cosx + 2< 0
-sinx - sqrt(3)cosx -4 <= 32

svolgo i calcoli ed ottengo
sin(pi/3+x)< -2
-sinx - sqrt(3)cosx <= 36

ma il seno è definito solo nell'intervallo [-1,1] quindi la prima disequazione non si verifica .

[Massimo Gobbino]

ma il seno è definito solo nell'intervallo [-1,1]

Capisco quello che vuoi dire, ma questa frase è scorretta. Il seno è definito dappertutto, cioè per ogni valore reale di x. Quello che vuoi dire è che assume solo valori compresi in [-1,1].

Occhio poi che i logaritmi non si possono togliere così impunemente come fai qui! Cioè da [tex]\log_2 A\leq 5[/tex] non si passa impunemente ad [tex]A\leq 32[/tex].

[kyra84]

ho dimenticato di imporre il log >= 0 corretto ?
grazie mille!

[Massimo Gobbino]

ho dimenticato di imporre il log >= 0 corretto ?

Forse vuoi dire l'*argomento* del logaritmo e maggiore *stretto* di 0. Occhio al linguaggio, che ogni tanto diventa sostanza.

[kyra84]

no intendevo l'intero log...

0 < \log_2 A\ <=5
credo di essermi confusa... rivedo tutto l'esercizio .