Disequazioni 8 - Esercizio 13 - sin(x)+cos(x)<1

[plm333]

Buongiorno a tutti,
sto provando a svolgere l'esercizio sin(x)+cos(x)<1 presente nel capitolo "Disequazioni 8", tuttavia rimango bloccato e non riesco a procedere:

Di seguito i passaggi che ho provato a svolgere:

1) sin(x)+cos(x)<1
2) sin(x)+sin((pi/2)-x)<1
3) trasformo somma di sinA+sinB in prodotto: 2sin(pi/4)cos(x-(pi/4))<1
4) svolgo i calcoli: cos(x-(pi/4)< (sqrt(2))/2

a questo punto non capisco come procedere! anche espandendo cos(x-(pi/4) tornerei alla forma iniziale sin(x)+cos(x), e ho provato a ragionare sulla circonferenza trigonometrica per capire se potessi trovare un qualche tipo di arco associato, ma non ho trovato nulla con x - pi/4

Allego anche foto dello svolgimento magari più semplice da capire rispetto al testo del post
Ringrazio chiunque possa darmi un qualche suggerimento!

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[Massimo Gobbino]

Beh, sei praticamente arrivato in fondo. Quando è che

\(\cos\alpha<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ?

Questa si risolve esplicitamente. Poi basta sostituire \(\alpha=x-\dfrac{\pi}{4}\).

Più velocemente si poteva arrivare allo stesso risultato moltiplicando la disequazione iniziale per \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) in modo da farla diventare

\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

e poi osservare che la cosa scritta a sinistra è proprio \(\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\) oppure \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\).

[GIMUSI]

Un'alternativa senza calcoli:

- nel primo quadrante \(\sin x\) e \(\cos x\) sono i cateti di un triangolo rettangolo con ipotenusa di lunghezza unitaria, dunque \(\sin x+\cos x\ge 1\);

- nel terzo quadrante, assi inclusi, \(\sin x\) e \(\cos x\) sono entrambi non positivi e la diseguaglianza è certamente soddisfatta;

- nel secondo e quarto quadrante, assi esclusi, uno tra \(\sin x\) e \(\cos x\) è positivo e minore di \(1\) e l'altro è negativo e la diseguaglianza è certamente soddisfatta;

pertanto la soluzione è: \(\frac \pi 2 +2k\pi <x<2\pi +2k\pi\)

Come ulteriore alternativa, ma con calcoli, si potrebbero usare le formule parametriche (quelle con \(t=\tan x/2\)).

[plm333]

Grazie per l'aiuto, effettivamente ero arrivato alla fine dell'esercizio senza rendermene conto, mi ero dimenticato che \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) fosse un "valore noto".
Interessante anche il metodo suggerito per risolverlo geometricamente, mi sto rendendo conto che spesso basta fermarsi e ragionare un attimo sul problema per capirlo meglio, invece di iniziare fin da subito con i calcoli e le formule!

Allego lo svolgimento completo (solo per x da [0 a 2pi] come richiesto dall'esercizio)