Es. 5 Scheda 21 (Numeri reali 2)

[Fede]

Buonasera, propongo nuovamente la soluzione dell'esercizio per avere eventuale riscontro.
Di seguito il testo:


Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R, con A a sinistra di B, come nell’assioma di continuità. Dimostrare che il separatore è unico se e solo se, per ogni ε > 0, esitono a ∈ A e b ∈ B tali che b − a ≤ ε.



Tentativo di dimostrazione (prima dimostro la prima implicazione poi la seconda):



1) Se l'elemento separatore c è unico \(\implies \ \forall \epsilon >0,\ \exists \ a\in A, \ \exists \ b \in B \ t.c.\ b-a\leq \epsilon \):

Per ipotesi c è unico \(\\ \implies \exists a \ \forall \epsilon>0 \ \ t.c. \ \ \ \ \ \ \ c-\frac{\epsilon}{2} \leq a \\
\implies \exists b \ \forall \epsilon>0 \ \ t.c. \ \ \ \ \ \ \ c+\frac{\epsilon}{2} \geq b\)

Sottraendo la prima alla seconda si ottiene la tesi.


2) \(\forall \epsilon >0,\ \exists \ a\in A, \ \exists \ b \in B \ t.c.\ b-a\leq \epsilon \implies c \ è \ unico\)

Poniamo che c non sia unico


\( \exists \ \epsilon >0 \ t.c. \forall \ a \in \ a, \forall \ b \ \in \ B, \ a\leq c+\frac{\epsilon}{2} \leq b \)
dividendo la diseducazione in due parti si ha:
\( a\leq c+\frac{\epsilon}{2} \\
b \geq c+\frac{\epsilon}{2}
\)

Sottraendo la prima alla seconda si ottiene \(b-a \geq \epsilon\)

Assurdo per ipotesi.


Ciao a tutti,
Federico.