Salve a tutti,
ho un dubbio sulle definizioni di iniettività e monotonia: nella definizione possiamo utilizzare l'operatore di equivalenza al posto di quello di implicazione semplice?
Posso cioè scrivere che una funzione \(f: A \rightarrow B\) è iniettiva se
\(\forall a_1, a_2 \in A \; [f(a_1)= f(a_2) \Leftrightarrow a_1=a_2] \)
In maniera simile nella definizione di monotonia (per esempio strettamente crescente) posso scrivere che una funzione \(f: A \rightarrow B\) è monotona strettamente crescente se \(\forall a_1, a_2 \in A \; [a_1 < a_2 \Leftrightarrow f(a_1) < f(a_2)] \)
Se si, ho un dubbio sul seguente esercizio (pag 3 della lezione Funzioni elementari: esponenziali e logaritmi. Discussione di cosa bisognerebbe dimostrare per avere una definizione rigorosa. Operazioni sui grafici. Iniettività ed equazioni. Monotonia e disequazioni.):
Trovare entro quali condizioni
\(f(5x-4) \geq f(7x-2) \Rightarrow 5x-4 \geq 7x-2\)
Svolgimento
Se la funzione f è strettamente crescente allora si ha:
\( [5x-4 < 7x-2 \Leftrightarrow f(5x-4) < f(7x-2)] \)
Passando alla contrapposta:
\( [f(5x-4) \geq f(7x-2) \Leftrightarrow 5x-4 \geq 7x-2 ] \)
Quindi se f è strettamente crescente l'implicazione iniziale è lecita
Se la funzione f è debolmente crescente allora si ha:
\( [5x-4 > 7x-2 \Leftrightarrow f(5x-4) \geq f(7x-2)] \)
Quindi in questo caso \([f(5x-4) \geq f(7x-2) \Rightarrow 5x-4 > 7x-2]\)
Se la funzione f è strettamente decrescente allora si ha:
\( [5x-4 > 7x-2 \Leftrightarrow f(5x-4) < f(7x-2)] \)
Passando alla contrapposta:
\( [f(5x-4) \geq f(7x-2) \Leftrightarrow 5x-4 \leq 7x-2 ] \)
Quindi in questo caso \( [f(5x-4) \geq f(7x-2) \Rightarrow 5x-4 \leq 7x-2 ] \)
Infine se la funzione f è debolmente decrescente allora si ha:
\( [5x-4 < 7x-2 \Leftrightarrow f(5x-4) \geq f(7x-2)] \)
Quindi in questo caso \( [f(5x-4) \geq f(7x-2) \Rightarrow 5x-4 < 7x-2 ] \)
Vi torna il ragionamento sopra?
Grazie!