Numeri reali e principio di identità

[alabarba]

Salve a tutti,

ho provato a fare il seguente esercizio:

Dimostrare la legga di semplificazione $\forall a,b,c \in R \; (a=b) \Rightarrow (a + c = b + c)$ facendo uso degli assiomi dei numeri reali.

Ipotesi: $a,b,c \in R \; e \; a=b$
Tesi : $(a + c = b + c)$

Dimostrazione

1. Considero l'elemento a+c
2. Per Ord2 $a+c \geq a+c$
3. Per Ord3 $[( a+c \geq a+c) \wedge (a+c \geq a+c )] \Rightarrow a+c=a+c$
4. Per ipotesi a=b sostituisco dunque a con b nel secondo membro della conseguente nell'implicazione precedente e ottengo: a+c=b+c CVD

Le mie domande:

• La dimostrazione vi sembra corretta? Io ho qualche dubbio sul punto 3
• Al posto dei punti 2 e 3 avrei potuto scrivere a+c = a+c in base al principio per cui ogni elemento di un insieme è uguale a se stesso?
• In generale nonostante il principio di identità non faccia parte degli assiomi che abbiamo scelto per definire i numeri reali, possiamo considerarlo valido a prescindere?

[Massimo Gobbino]

Ipotesi: $a,b,c \in R \; e \; a=b$
Tesi : $(a + c = b + c)$

No no no, è il contrario. L'ipotesi è che a+c=b+c, la tesi è che a=b (cioè quello che si ottiene "semplificando").

[alabarba]

Salve,
l'esercizio proposto a lezione era effettivamente il contrario.
Io comunque per ulteriore esercizio ho provato a dimostrare anche il reciproco di quello fatto a lezione

[Massimo Gobbino]

Io comunque per ulteriore esercizio ho provato a dimostrare anche il reciproco di quello fatto a lezione

Il reciproco è "ovvio", nel senso che è sostanzialmente la definizione di uguaglianza. Più in generale, se $a_1=a_2$ e $b_1=b_2$, allora $a_1+b_1=a_2+b_2$.

[alabarba]

Ok chiaro.

La mia domanda è se posso dare per scontato che ogni numero reale sia uguale a se stesso.

Per la relazione $\geq$ non è scontato che un numero sia maggiore o uguale a se stesso tanto che lo abbiamo definito come assioma (Ord2).