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Buongiorno, spero di non aver sbagliato sezione.

Sia \(0<b_1<a_1\). Consideriamo due successioni \((a_n)\) e \((b_n)\) definite nel seguente modo:

\(a_{n+1} = \dfrac{ a_n+b_n}{2}\) con \(n \geq 1\)

\(b_{n+1} =\sqrt{a_nb_n}\) con \(n \geq 1\)

Dimostrare che \((a_n)\) e \((b_n)\) convergono verso lo stesso limite.

Volevo chiedere dei consigli su come posso procedere.
Ho provato ad usare il Teorema di Césaro-Stolz tuttavia non ho ben capito se soddisfo le ipotesi per poterlo usare, oppure se c'è un altra strada più facile per procedere.

Grazie per l'aiuto

Ho modificato il titolo, per renderlo più aderente alla realtà.

Detto questo, un paio di aiutini

[+] Hint_1

La successione \(a_n\) è decrescente, mentre la successione \(b_n\)è crescente

[+] Hint_2

La successione \(b_n\) sta sempre sotto la successione \(a_n\).

Se serve altro, basta chiedere!

La ringrazio , provo a scriverle i passaggi che ho fatto.

Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica
\(\sqrt{a_nb_n} \leq \frac{a_n+b_n}{2} =>\)

\(b_1\leq b_n \leq b_{n+1} \leq a_{n+1}\leq a_n \leq a_1\)

Per la definizione di successione monotona e per la definizione di successione limitata ho che:
\(b_n\) risulta essere monotona crescente e limitata
\(a_n\) risulta essere decrescente e limitata

Per il Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone

Esiste il limite \(\lim_{n\to +\infty} b_n = \sup (b_n)_{n\in\mathbb{N}}\)

Esiste il limite \(\lim_{n\to +\infty} a_n= \inf (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)

(Dubbio: primo riguardo l'utilizzo di questo teorema, secondo vorrebbe dire che per avere le due successione convergenti allo stesso limite dovrebbe essere \(\inf=\sup\))

Corollario: una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.
Quindi \(a_n\) e \(b_n\) convergono.
Ora vogliamo dimostrare che convergono allo stesso limite.
Da qui non so come procedere

Se non la disturbo troppo vorrei chiederle se può aiutarmi a scrivere la dimostrazione in termini più rigorosi, tante grazie!!

Beh, facciamo il punto della situazione.

Sappiamo che \(a_n\) è decrescente e limitata dal basso (ad esempio da \(b_1\)), dunque ammette un limite reale

\(a_n\to\ell\in\mathbb{R}\)

Analogamente, sappiamo che \(b_n\) è crescente e limitata dall'alto (ad esempio da \(a_1\)), dunque ammette un limite reale

\(b_n\to m\in\mathbb{R}\)

Volendo sappiamo anche che \(m\leq\ell\), ma noi vorremmo addirittura l'uguaglianza.

[+] Possibile_Idea

Perché non provare a passare al limite in una a caso delle due ricorrenze e vedere che succede?