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Sia data la successione definita per ricorrenza: \(x_{n+1}=x_n-x_n^3\). Determinare i possibili limiti della successione al variare del dato iniziale \(x_0\in\mathbb{R}\).
Per \(x_0\in (-\sqrt2,\sqrt2)\) la successione converge al punto fisso \(x=0\); per \(x_0=\pm\sqrt2\) le sottosuccessioni \(x_{2n},x_{2n+1} \mbox{ convergono l'una a }\sqrt2, \mbox{ l'altra a }-\sqrt2\) dunque il limite non esiste.
Ho però dei problemi a determinare il comportamento della successione per \(x_0<-\sqrt2 \mbox{ e } x_0>\sqrt2\).
Grazie mille in anticipo a chi risponderà

Beh, iniziamo con qualche aiutino

Come funziona questo caso?

Gianni26 wrote: Per \(x_0\in (-\sqrt2,\sqrt2)\) la successione converge al punto fisso \(x=0\)

Di chi è figlio quel \(\sqrt{2}\) ?

Massimo Gobbino wrote:Beh, iniziamo con qualche aiutino

Come funziona questo caso?

Gianni26 wrote: Per \(x_0\in (-\sqrt2,\sqrt2)\) la successione converge al punto fisso \(x=0\)

Di chi è figlio quel \(\sqrt{2}\) ?

In realtà ho trovato i punti \(x=\pm\sqrt2\) risolvendo l'equazione \(f(x)=-x\), ma solo perchè il prof a lezione aveva fatto in questo modo in altri casi [effettivamente non so perchè questo procedimento funzioni]. Inoltre in quell'intervallo si ha che la successione da un certo punto in poi entra nella zona in cui vale \(|f'(x)|<1\) e quindi tende al punto fisso