sono alle prese con questo esercizio:
\(a_{n+1} = (1 - \frac{1}{n})\sqrt{a_{n}}\)
con \(a_2=\frac{1}{20}\)
ho già dimostrato che:
1) \(0 \le a_n \le 1\)
2) \(a_n \le a_{n+1}\)
il mio problema è trovare un termine più piccolo di \(a_n\) che tende a 1 (per usare il confronto a 3) e dimostrare che il limite è 1
l'unica idea che ha funzionato l'ho presa dalla lezione 90 del corso analisi 1 per matematica 2014/2015, ossia passare al limite:
\(a_{n+1} = (1 - \frac{1}{n})\sqrt{a_{n}} \rightarrow l = 1 \sqrt{l}\)
ottengo \(l = \sqrt{l}\) che ha 2 soluzioni: 0 e 1.
escludo \(l \rightarrow 0\) in quanto la successione è crescente e il termine più piccolo, ossia \(a_2\) è maggiore di zero.
quindi l'unica soluzione è 1.
qualche idea per usare il confronto?
vi ringrazio in anticipo
