La ringrazio
, provo a scriverle i passaggi che ho fatto.
Per la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica
\(\sqrt{a_nb_n} \leq \frac{a_n+b_n}{2} =>\)
\(b_1\leq b_n \leq b_{n+1} \leq a_{n+1}\leq a_n \leq a_1\)
Per la definizione di successione monotona e per la definizione di successione limitata ho che:
\(b_n\) risulta essere monotona crescente e limitata
\(a_n\) risulta essere decrescente e limitata
Per il Teorema sull'esistenza dei limiti di successioni monotone
Esiste il limite
\(\lim_{n\to +\infty} b_n = \sup (b_n)_{n\in\mathbb{N}}\)
Esiste il limite
\(\lim_{n\to +\infty} a_n= \inf (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)
(Dubbio: primo riguardo l'utilizzo di questo teorema, secondo vorrebbe dire che per avere le due successione convergenti allo stesso limite dovrebbe essere
\(\inf=\sup\))
Corollario: una successione monotona è convergente se e solo se è limitata.
Quindi
\(a_n\) e
\(b_n\) convergono.
Ora vogliamo dimostrare che convergono allo stesso limite.
Da qui non so come procedere
Se non la disturbo troppo vorrei chiederle se può aiutarmi a scrivere la dimostrazione in termini più rigorosi, tante grazie!!
