Esercizio proposto a lezione

[Ghedda]

ESERCIZIO
Consideriamo la successione definita per ricorrenza
a_0 = 2008, a_(n+1) = arctan a_n .
Studiare la serie SUM (a_n)^alpha, al variare del parametro reale alpha.
SOLUZIONE
La serie converge per alpha > 2, diverge altrimenti.
a_n tende a zero (perchè?).
Se dimostriamo che (a_n)^2 / 1/n -> l (l diverso da zero), allora SUM (a_n)^(2alpha) ha lo stesso carattere di SUM 1/n^alpha. Ma l'ultima serie converge per alpha > 1, quindi SUM (a_n)^beta, con beta = 2alpha, convergerà per beta > 2.
Dimostriamo allora che (a_n)^2 / 1/n -> l (l diverso da zero).
(a_n)^2 / 1/n = n (a_n)^2 = n / 1/(a_n)^2,
Per calcolare il limite dell'ultima successione ci possiamo avvalere del seguente risultato: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... es%C3%A0ro
[(n+1)-n]/[ 1/(a_(n+1))^2-1/(a_n)^2] =1/ [ 1/(a_(n+1))^2-1/(a_n)^2]=1/[ 1/(arctan a_n)^2-1/(a_n)^2].
Il limite del denominatore dell'ultima espressione scritta è uguale al limite per x -> 0 della funzione
f(x) = 1/(arctan x)^2-1/x^2 (perchè?), il cui valore (diverso da zero) viene lasciato per esercizio.

[Massimo Gobbino]

Ottima soluzione, Ghedda, anche se usa un "cannone".

Aggiungo solo che il teorema che usi è una versione per le successioni del teorema di De l'Hopital.

[Ghedda]

Secondo me quel Teorema non è proprio da considerarsi un "cannone".
E' sicuramente un risultato che permette di risolvere "agevolmente" l'esercizio, quello sì.

[Massimo Gobbino]

E' sicuramente un risultato che permette di risolvere "agevolmente" l'esercizio, quello sì.

Certamente, e non solo quello. Praticamente permette di trattare tutte le situazioni "border line", in cui la derivata della funzione nel punto limite vale 1.

Nel caso particolare in questione si poteva anche dimostrare a mano per induzione che la successione è compresa tra due costanti diviso radice di n.

Tuttavia, per chi lo conosce, la soluzione con l'"Hopital per successioni" è più comoda ed elegante!