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serie per n=0 ..oo.....(cos n!+sin n^2)/(n^2+n!)....attraverso l'assoluta convergenza...e poi approssimando a 2/n!..attraverso il criterio del confronto otteniamo 0<1...quindi converge........giusto?....

Io applicherei l'assoluta convergenza e maggiorerei (confronto a due) con [tex]\dfrac{2}{n!}[/tex]. Quest'ultima evidentemente converge, quindi la serie iniziale converge.

ah scusa volevo dire il criterio del rapporto.......

[tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\cos n!+\sin n^2}{n^2+n!}[/tex]

il termine generale è infinitesimo ma non mantiene segno cosatante, allora considerandone il valore assoluto otteniamo:

[tex]\displaystyle \frac{\cos n!+\sin n^2}{n^2+n!}=\frac{|\cos n!+\sin n^2|}{n^2+n!}<\frac{|\cos n!|+|\sin n^2|}{n^2+n!}[/tex][tex]\displaystyle<\frac{2}{n^2+n!} <\frac{2}{n^2 }[/tex]

essendo [tex]1/n^2[/tex] convergente, la serie per confronto convergerà assolutamente e dunque semplicemente.

@silly: Con il criterio del rapporto dimostri che [tex]\dfrac{2}{n!}[/tex] converge, quindi converge la serie iniziale. Ottimo ragionamento

Posto le mie soluzioni di serie 4 in allegato!