Serie ostica
Posted: Monday 10 September 2012, 22:54
Gentile professore, non so se ho usato troppa disinvoltua nel risolvere questa serie ..
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R}[/tex]
Osserviamo che la serie la possiamo spezzare in due:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{n!}{e^{n^2}}+\sum_{n=1}^\infty\,\,(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}[/tex]
studiamo ora le due serie separatamente, per poi cercare di concludere utilizzando la linearità:
la prima serie è evidentemente a termini positivi; allora applicando il criterio della radice si ha:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}} =0<l<1\to\text{converge}[/tex]
la prima serie risulta dunque convergente per il criterio dela radice.
La seconda serie: è evidentemente a segni alterni; consideriamo allora il valore assoluto del termine generale, e otteniamo:
[tex]\displaystyle\left|(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right|=\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\sim \left(1-\sin\beta\right) ^{n}[/tex]
la seconda serie dunque si comporta asintoticamente come una serie geometrica di ragione [tex]1-\sin\beta,[/tex] che sappiamo essere convergente quando [tex]|1-\sin\beta|<1;[/tex] osservando che
[tex]|1-\sin\beta|<1 \Leftrightarrow-1<1-\sin\beta<1[/tex][tex]\Leftrightarrow-2< -\sin\beta<0\Leftrightarrow 0< \sin\beta<2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases} \sin\beta<2, & \forall\beta \\ \sin\beta>0, & 0<\beta<\pi+ k\pi, k\in\mathbb{Z}
\end{cases},[/tex]
dunque la seconda serie risulta
[tex]\left(1-\sin\beta\right) ^{n} =[/tex][tex]\begin{cases}\mbox {se}\,\,\,0<\beta<\pi+ k\pi, \mbox{assolutamente convergente} \\ \mbox{se}\,\,\,\pi<\beta<2\pi+ k\pi, \mbox{assolutamente divergente}
\end{cases}[/tex]
nel caso in cui la serie risulta assolutamente divergente, per vedere se c è convergenza semplice possiamo osservare che [tex]1-\sin\beta>0, \forall\beta,[/tex] allora posto [tex]1-\sin\beta=\lambda[/tex], considerando il limite delle somme parziali della serie si ha:
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^n\,\,(-1)^k\left(\lambda\right) ^{k}[/tex] [tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}-\lambda+\lambda^2-\lambda^3+\lambda^4+....-\lambda^{2n-1}+\lambda^{2n}[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\left( \lambda^2 +\lambda^4+... +\lambda^{2n}\right)-\left( \lambda+\lambda^3 +... +\lambda^{2n-1}\right)[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\lambda^2\left( 1 +\lambda^2+\lambda^4+... +\lambda^{2n}\right)- \lambda\left(1+\lambda^2+\lambda^4 +... +\lambda^{2n }\right)[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\left(1+\lambda^2+\lambda^4 +... +\lambda^{2n }\right)\left(\lambda^2-\lambda\right)[/tex]
[tex]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{\left(\lambda^2\right)^{n+1}-1}{\lambda^2+1}\left(\lambda^2-\lambda\right)[/tex]
[tex]\displaystyle\sim\lim_{n \to +\infty} \left(\lambda^2\right)^{n+1}\sim\lim_{n \to +\infty} \lambda^ {2n}[/tex] [tex]\displaystyle=\begin{cases} 0&\text{se}\,\,\,0<\lambda<1,\\ +\infty&\text{se}\,\,\, \lambda>1,
\end{cases}[/tex]
e dunque la serie converge semplicemente per [tex]0<\lambda<1,[/tex] cioè per [tex]0<\beta<\pi+ k\pi;[/tex]
Concludendo si ha:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]=[/tex][tex]\displaystyle\begin{cases} \text{se}\,\,\,0<\beta<\pi+ k\pi, & \mbox{ semplicemente convergente} \\ \box{se}\,\,\,\pi<\beta<2\pi+ k\pi, & \mbox{ divergente}
\end{cases}[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right],\qquad \beta\in\mathbb{R}[/tex]
Osserviamo che la serie la possiamo spezzare in due:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{n!}{e^{n^2}}+\sum_{n=1}^\infty\,\,(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}[/tex]
studiamo ora le due serie separatamente, per poi cercare di concludere utilizzando la linearità:
la prima serie è evidentemente a termini positivi; allora applicando il criterio della radice si ha:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\frac{n!}{e^{n^2}} &\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{e^{n^2}}}=\lim_{n \to +\infty} {\frac{\sqrt[n]n!}{e^{n }}} =0<l<1\to\text{converge}[/tex]
la prima serie risulta dunque convergente per il criterio dela radice.
La seconda serie: è evidentemente a segni alterni; consideriamo allora il valore assoluto del termine generale, e otteniamo:
[tex]\displaystyle\left|(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right|=\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\sim \left(1-\sin\beta\right) ^{n}[/tex]
la seconda serie dunque si comporta asintoticamente come una serie geometrica di ragione [tex]1-\sin\beta,[/tex] che sappiamo essere convergente quando [tex]|1-\sin\beta|<1;[/tex] osservando che
[tex]|1-\sin\beta|<1 \Leftrightarrow-1<1-\sin\beta<1[/tex][tex]\Leftrightarrow-2< -\sin\beta<0\Leftrightarrow 0< \sin\beta<2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\begin{cases} \sin\beta<2, & \forall\beta \\ \sin\beta>0, & 0<\beta<\pi+ k\pi, k\in\mathbb{Z}
\end{cases},[/tex]
dunque la seconda serie risulta
[tex]\left(1-\sin\beta\right) ^{n} =[/tex][tex]\begin{cases}\mbox {se}\,\,\,0<\beta<\pi+ k\pi, \mbox{assolutamente convergente} \\ \mbox{se}\,\,\,\pi<\beta<2\pi+ k\pi, \mbox{assolutamente divergente}
\end{cases}[/tex]
nel caso in cui la serie risulta assolutamente divergente, per vedere se c è convergenza semplice possiamo osservare che [tex]1-\sin\beta>0, \forall\beta,[/tex] allora posto [tex]1-\sin\beta=\lambda[/tex], considerando il limite delle somme parziali della serie si ha:
[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^n\,\,(-1)^k\left(\lambda\right) ^{k}[/tex] [tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}-\lambda+\lambda^2-\lambda^3+\lambda^4+....-\lambda^{2n-1}+\lambda^{2n}[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\left( \lambda^2 +\lambda^4+... +\lambda^{2n}\right)-\left( \lambda+\lambda^3 +... +\lambda^{2n-1}\right)[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\lambda^2\left( 1 +\lambda^2+\lambda^4+... +\lambda^{2n}\right)- \lambda\left(1+\lambda^2+\lambda^4 +... +\lambda^{2n }\right)[/tex]
[tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty}\left(1+\lambda^2+\lambda^4 +... +\lambda^{2n }\right)\left(\lambda^2-\lambda\right)[/tex]
[tex]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{\left(\lambda^2\right)^{n+1}-1}{\lambda^2+1}\left(\lambda^2-\lambda\right)[/tex]
[tex]\displaystyle\sim\lim_{n \to +\infty} \left(\lambda^2\right)^{n+1}\sim\lim_{n \to +\infty} \lambda^ {2n}[/tex] [tex]\displaystyle=\begin{cases} 0&\text{se}\,\,\,0<\lambda<1,\\ +\infty&\text{se}\,\,\, \lambda>1,
\end{cases}[/tex]
e dunque la serie converge semplicemente per [tex]0<\lambda<1,[/tex] cioè per [tex]0<\beta<\pi+ k\pi;[/tex]
Concludendo si ha:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\,\left[\frac{n!}{e^{n^2}}+(-1)^n\left(1-\sin\beta\right) ^{\frac{n^2}{n+1}}\right]=[/tex][tex]\displaystyle\begin{cases} \text{se}\,\,\,0<\beta<\pi+ k\pi, & \mbox{ semplicemente convergente} \\ \box{se}\,\,\,\pi<\beta<2\pi+ k\pi, & \mbox{ divergente}
\end{cases}[/tex]
