Serie Parametrica : verifica
Posted: Wednesday 5 September 2012, 10:45
Gentile Professore, ho trovato quest0 eserciz0 ... di cui però non ho il risultato ...
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\cdot \frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}[/tex]
si tratta di una serie a segno alterno; considerando il valore assolto del termine generale, otteniamo una serie a termini positivi, a cui possiamo applicare il criterio del confronto asintotico: si ha:
[tex]\displaystyle\Big|(-1)^n\cdot \frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}\Big|=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}[/tex] [tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n \cdot \frac{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}\Big]}[/tex] [tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[ \frac{ \ln^2n}{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}\Big]}[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[ \frac{ \ln^2n}{\sqrt{n}\Big(\sqrt{1+\frac{\ln^2}{n}}+1\Big)}\Big]}\sim \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^{\beta}\Big( \frac{\ln^2n}{2\sqrt n} \Big)}=\frac{1}{2n^{\Big(\beta-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\Big)}\cdot\ln^2n}[/tex]
allora si ha convergenza(assoluta e dunque anche semplice) quando
[tex]\displaystyle\beta-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\ge1 \to \beta -2\ge 1 \to \beta\ge 3[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\cdot \frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}[/tex]
si tratta di una serie a segno alterno; considerando il valore assolto del termine generale, otteniamo una serie a termini positivi, a cui possiamo applicare il criterio del confronto asintotico: si ha:
[tex]\displaystyle\Big|(-1)^n\cdot \frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}\Big|=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n\Big]}[/tex] [tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[\sqrt{n+\ln^2n}-\sqrt n \cdot \frac{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}\Big]}[/tex] [tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[ \frac{ \ln^2n}{\sqrt{n+\ln^2n}+\sqrt n}\Big]}[/tex]
[tex]\displaystyle=\frac{n^{\frac{3}{2}}+1}{n^{\beta}\Big[ \frac{ \ln^2n}{\sqrt{n}\Big(\sqrt{1+\frac{\ln^2}{n}}+1\Big)}\Big]}\sim \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^{\beta}\Big( \frac{\ln^2n}{2\sqrt n} \Big)}=\frac{1}{2n^{\Big(\beta-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\Big)}\cdot\ln^2n}[/tex]
allora si ha convergenza(assoluta e dunque anche semplice) quando
[tex]\displaystyle\beta-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\ge1 \to \beta -2\ge 1 \to \beta\ge 3[/tex]
