Serie: verifica
Posted: Tuesday 7 August 2012, 20:57
Gentile Professore, le posto un esercizio con una risoluzione di cui non sono certo ... se ha un pò di pazienza ... l'esercizio è il seguente, seguito dal mio tentativo:
Determinare, al variare del paramentro [tex]$\beta\in\mathbb{R}$[/tex] la convergenza della serie:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, (-1)^{\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right]}\cdot a_n[/tex]
dove:
[tex]a_n=\begin{cases}\displaystyle\sqrt n\ln n\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{(-1)^k}{k^2\ln^2k}, & \mbox{se }n\mbox{ dispari} \\\\ \left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right)\left(\arctan\left(n^{-\frac{\beta}{2}}\right)\right)^{-1}, & \mbox{se }n\mbox{ pari}
\end{cases}[/tex]
dove [tex]$[x]$[/tex] è la parte intera di [tex]$x$[/tex]
Prima di affrontare lo studio della serie, è necessario fare alcune osservazioni, in modo da semplificare la struttura della serie
consideriamo [tex]\displaystyle(-1)^{\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right]}:[/tex]
la successione [tex]$ b_n= \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},$[/tex] è limitata superiormente da [tex]$1$[/tex] ed inferiormente da [tex]$0,$[/tex] quindi è limitata ed assume esclusivamente i valori compresi nell'intervallo [tex]$(0;1];$[/tex] in tale intervallo la successione [tex]$\sin b_n$[/tex] è positiva e limitata inferiormente da [tex]$0$[/tex] e superiormente da [tex]$\sin1<1;$[/tex] a noi tuttavia interessa la parte intera di [tex]$\sin b_n,$[/tex] che per definizione, sarà costantemente uguale a zero, in quanto la parte intera [tex]$[x]$[/tex] di un numero reale è il puù grande intero minore o ugule a [tex]$x,$[/tex] e dunque
[tex]\displaystyle\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right] =0 \quad\Rightarrow\quad (-1)^{\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right]}=1,\,\,\,\forall n[/tex]
consideriamo [tex]\displaystyle\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{(-1)^k}{k^2\ln^2k}:[/tex]
si tratta del resto della serie [tex]$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2\ln^2n},$[/tex] convergente, per il criterio di Leibniz; sappiamo allora, grazie proprio al criterio di Leibniz, che la ''stima'' del resto non supera, in valore assoluto, il termine [tex]$a_{n+1}$[/tex] della serie, e dunque abbiamo che:
[tex]\displaystyle\left|\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{(-1)^k}{k^2\ln^2k}\right|\le\frac{ 1}{(n+1)^2\ln^2(n+1)}[/tex]
Fatte queste considerazioni, la serie data diventa:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right]}\cdot a_n =\displaystyle\sum_{n=2n+1}^\infty\,\,\left( \displaystyle\sqrt n\ln n\,\,\sum_{k= n+1}^\infty\,\,\frac{(-1)^k}{k^2\ln^2k}\right)+[/tex][tex]\displaystyle\sum_{n=2n}^\infty\,\, \left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right)\left(\arctan\left(n^{-\frac{\beta}{2}}\right)\right)^{-1}[/tex]
A questo punto abbiamo la somma di due serie, che studiamo separatamente:
- per i valori dispari abbiamo la serie a termini positivi:
[tex]\displaystyle\frac{\sqrt n\ln n}{(n+1)^2\ln^2(n+1)}\sim\frac{\sqrt n\ln n}{n^2\ln^2n}=\frac{ \ln n}{n^{\frac{3}{2}}\ln^2n }=\frac{ 1}{n^{\frac{3}{2}}\ln n }\to \text{converge}[/tex]
la prima serie dunque converge per confornto asintotitco con la serie armoinica logaritmica;
-per i valori pari abbiamo la serie a termini positivi:
[tex]\displaystyle \left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right)\left(\arctan\left(n^{-\frac{\beta}{2}}\right)\right)^{-1}\sim\left( \frac{1}{2n^{\beta}} \cdot n^{ \frac{\beta}{2}} \right)= \frac{1}{ n^{\frac{\beta}{2}}}[/tex]
che converge se [tex]\displaystyle\frac{\beta}{2}>1,\ \beta<2[/tex]
la serie data dunque, converge se e soltanto se entrambe le serie risultano convergenti (per la linearità), e ciò accade se e soltanto se [tex]\displaystyle$\beta<2.$[/tex]
Grazie per la pazienza!
Determinare, al variare del paramentro [tex]$\beta\in\mathbb{R}$[/tex] la convergenza della serie:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, (-1)^{\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right]}\cdot a_n[/tex]
dove:
[tex]a_n=\begin{cases}\displaystyle\sqrt n\ln n\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{(-1)^k}{k^2\ln^2k}, & \mbox{se }n\mbox{ dispari} \\\\ \left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right)\left(\arctan\left(n^{-\frac{\beta}{2}}\right)\right)^{-1}, & \mbox{se }n\mbox{ pari}
\end{cases}[/tex]
dove [tex]$[x]$[/tex] è la parte intera di [tex]$x$[/tex]
Prima di affrontare lo studio della serie, è necessario fare alcune osservazioni, in modo da semplificare la struttura della serie
consideriamo [tex]\displaystyle(-1)^{\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right]}:[/tex]
la successione [tex]$ b_n= \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},$[/tex] è limitata superiormente da [tex]$1$[/tex] ed inferiormente da [tex]$0,$[/tex] quindi è limitata ed assume esclusivamente i valori compresi nell'intervallo [tex]$(0;1];$[/tex] in tale intervallo la successione [tex]$\sin b_n$[/tex] è positiva e limitata inferiormente da [tex]$0$[/tex] e superiormente da [tex]$\sin1<1;$[/tex] a noi tuttavia interessa la parte intera di [tex]$\sin b_n,$[/tex] che per definizione, sarà costantemente uguale a zero, in quanto la parte intera [tex]$[x]$[/tex] di un numero reale è il puù grande intero minore o ugule a [tex]$x,$[/tex] e dunque
[tex]\displaystyle\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right] =0 \quad\Rightarrow\quad (-1)^{\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right]}=1,\,\,\,\forall n[/tex]
consideriamo [tex]\displaystyle\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{(-1)^k}{k^2\ln^2k}:[/tex]
si tratta del resto della serie [tex]$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2\ln^2n},$[/tex] convergente, per il criterio di Leibniz; sappiamo allora, grazie proprio al criterio di Leibniz, che la ''stima'' del resto non supera, in valore assoluto, il termine [tex]$a_{n+1}$[/tex] della serie, e dunque abbiamo che:
[tex]\displaystyle\left|\sum_{k=n+1}^\infty\,\,\frac{(-1)^k}{k^2\ln^2k}\right|\le\frac{ 1}{(n+1)^2\ln^2(n+1)}[/tex]
Fatte queste considerazioni, la serie data diventa:
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{\left[\sin\left(\frac{n}{n+1}\right)\right]}\cdot a_n =\displaystyle\sum_{n=2n+1}^\infty\,\,\left( \displaystyle\sqrt n\ln n\,\,\sum_{k= n+1}^\infty\,\,\frac{(-1)^k}{k^2\ln^2k}\right)+[/tex][tex]\displaystyle\sum_{n=2n}^\infty\,\, \left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right)\left(\arctan\left(n^{-\frac{\beta}{2}}\right)\right)^{-1}[/tex]
A questo punto abbiamo la somma di due serie, che studiamo separatamente:
- per i valori dispari abbiamo la serie a termini positivi:
[tex]\displaystyle\frac{\sqrt n\ln n}{(n+1)^2\ln^2(n+1)}\sim\frac{\sqrt n\ln n}{n^2\ln^2n}=\frac{ \ln n}{n^{\frac{3}{2}}\ln^2n }=\frac{ 1}{n^{\frac{3}{2}}\ln n }\to \text{converge}[/tex]
la prima serie dunque converge per confornto asintotitco con la serie armoinica logaritmica;
-per i valori pari abbiamo la serie a termini positivi:
[tex]\displaystyle \left(\sqrt{1+\frac{1}{n^{\beta}}}-1\right)\left(\arctan\left(n^{-\frac{\beta}{2}}\right)\right)^{-1}\sim\left( \frac{1}{2n^{\beta}} \cdot n^{ \frac{\beta}{2}} \right)= \frac{1}{ n^{\frac{\beta}{2}}}[/tex]
che converge se [tex]\displaystyle\frac{\beta}{2}>1,\ \beta<2[/tex]
la serie data dunque, converge se e soltanto se entrambe le serie risultano convergenti (per la linearità), e ciò accade se e soltanto se [tex]\displaystyle$\beta<2.$[/tex]
Grazie per la pazienza!
(scrivere n=2n o n=2n+1 negli indici della serie non ha nessun senso), e la bellissima disequazione finale con il [tex]\beta[/tex] 
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