Forum Studenti

Per favore suggeritimi quale ragionamento usare in queste domande per arrivare alla riposta giusta:
{sqrt(n)an}->+00 allora Serie di an converge;
{2^(n)an}->3 allora Serie di an converge;

Dalla teoria so che La Serie an converge quando la successione(an) tende a zero, in questo caso però alla successione viene aggiunta un'altra variabile che penso cambi il comportamento della serie, ma non so che calcoli devo fare per determinare il comportamento. Aiutoooooooooooo

Se sono queste le domande,

[tex]\displaystyle\sqrt[n]a_n\to+\infty \Rightarrow \mbox {la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ converge}[/tex]

[tex]\displaystyle2^na_n\to3 \Rightarrow \mbox {la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ converge}[/tex]

Per la prima la risposta è no per il criterio della radice: poichè abbbiamo per ipotesi che

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]a_n=+\infty>1 \to\mbox{la serie} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \mbox{ Non converge}[/tex]

nel secondo caso abbiamo:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3[/tex] dunque [tex]\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}[/tex]

Noisemaker wrote: [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3[/tex] dunque [tex]\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}[/tex]

Brutalmente ci siamo, ma rigorosamente è un orrore (sembra che il limite dipenda da n ...). Per essere rigorosi bisogna fare il confronto asintotico tra [tex]a_n[/tex] e [tex]2^{-n}[/tex].

Massimo Gobbino wrote:

Noisemaker wrote: [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3[/tex] dunque [tex]\displaystyle a_n\to\frac{3}{2^n} \to \mbox{converge}[/tex]

Brutalmente ci siamo, ma rigorosamente è un orrore (sembra che il limite dipenda da n ...). Per essere rigorosi bisogna fare il confronto asintotico tra [tex]a_n[/tex] e [tex]2^{-n}[/tex].

si ...è vero ...e brutto da vedere tra l'atro anche suscettibile a considerare il limite come un'operazione "ordinaria" ...

piochè

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 2^na_n=3 \,\,\,\,\mbox{o equivalentemente}\,\,\, \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{2^{-n}}= 3[/tex]

ovvero la successione [tex]a_n[/tex] è un infinito dello stesso ordine di [tex]\displaystyle\ 3\cdot 2^{-n}}[/tex]

[tex]\displaystyle a_n\sim \frac{3}{2^{n}}\to\mbox{converge}[/tex]

Ora va molto meglio . Detto altrimenti: la serie converge per confronto asintotico con la serie di termine generale [tex]b_n=\dfrac{1}{2^n}[/tex], la quale è una serie geometrica convergente.