Forum Studenti

Ciao a tutti..ho un po' di problemi a farmi tornare le serie in oggetto!

{[n^(1/n)] - 1}^2

(pigreco/2 - arctan n)

[e - (1 + 1/n)^n]

grazie a chi sapesse aiutarmi..

Mi aggrego a questo problema! Non riesco a trovare la soluzione per queste due serie!

Jonathanpizzicoli wrote:Ciao a tutti..ho un po' di problemi a farmi tornare le serie in oggetto!


[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(n^{\frac{1}{n}}-1\Big)^2[/tex]

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big( \frac{\pi}{2}-\arctan n\Big)[/tex]

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex]

grazie a chi sapesse aiutarmi..

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(n^{\frac{1}{n}}-1\Big)^2[/tex]

La serie è evidentemente a termini positivi, in quanto elevata al quadrato!Considerando il comportamento asintotico del termine generale si osserva che:

[tex]\displaystyle \Big(n^{\frac{1}{n}}-1\Big)^2= \Big(e^{\frac{\ln n}{n}}-1\Big)^2\sim \Big(\frac{\ln n}{n}} \Big)^2=\frac{1}{n^2\ln^{-2} n} \to \mbox{Converge}[/tex]


[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big( \frac{\pi}{2}-\arctan n\Big)[/tex]

essendo [tex]\frac{\pi}{2}-\arctan n=\arctan \frac{1}{n}[/tex] la serie data è equivalente a

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big( \frac{\pi}{2}-\arctan n\Big)=\sum_{n=1}^{+\infty}\arctan \frac{1}{n}\sim \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} \to \mbox{Diverge}[/tex]


[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex]

essendo

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}e-\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex]

essendo somma(algebrica) di due serie divergenti (Il termine generale non tende a zero!) per linearità la serie non converge

Scusatemi ma non riesco a dimostrare la convergenza della prima serie... :/

Con il metodo di e-alla dimostro che la serie potrebbe convergere.
Poi scelgo di fare il confronto asintotico con [tex]\sqrt[n]{n^2}[/tex] che per la mancanza della condizione necessaria, diverge.

Il limite mi viene 1 e quindi le serie dovrebbero avere lo stesso comportamento, quindi divergere... dove sbaglio?!

PLA wrote:Scusatemi ma non riesco a dimostrare la convergenza della prima serie... :/

Con il metodo di e-alla dimostro che la serie potrebbe convergere.

[tex][/tex]
si infatti il termine generale tende zero,cioè è verificata la condizione NECESSARIA per la convergenza:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty} \Big(n^{\frac{1}{n}}-1\Big)^2=\lim_{n \to \infty}\Big(e^{\frac{\ln n}{n}}-1\Big)^2\sim\Big(\frac{\ln n}{n}}\Big)^2=0[/tex]

PLA wrote: Poi scelgo di fare il confronto asintotico con [tex]\sqrt[n]{n^2}[/tex] che per la mancanza della condizione necessaria, diverge.

perche segli di fare il confronto con [tex]\sqrt[n]n^2[/tex] ?? il termine generale è asintotico a

[tex]\displaystyle\Big(\frac{\ln n}{n}}\Big)^2=\frac{\ln^2 n}{n^2}}>\frac{1}{n^2}\to \mbox{converge}:[/tex]

Infatti si potrebbe dimostrare la convergenza della serie [tex]\displaystyle\frac{\ln^2 n}{n^2}}[/tex] conil criterio di condensazione di Cauchy:

il termine generale è decrescente e positivo, quindi la serie

[tex]\displaystyle\frac{\ln^2 n}{n^2}}\quad \mbox{converge}\quad \Leftrightarrow \quad\displaystyle\frac{2^n\cdot\ln^2 2^n}{2^{2n}}}\to \mbox{converge}[/tex]

allora

[tex]\displaystyle\frac{2^n\cdot\ln^2 2^n}{2^{2n}}}=\frac{n^2\ln^2 2}{2^n}\sim\frac{n^2 }{2^n}[/tex]

applicando a quest'ultima serie il criterio del rapporto, otteniamo


[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2 }{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2 }=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2 }{n^2} \cdot \frac{2^n}{2^{n} \cdot2}=\frac{1}{2}[/tex] [tex]<\lambda<1\to\mbox{converge}[/tex]

e quindi anche la serie data converge.

insomma , da qualsiasi parte la prendi, sta serie converge!!

Noisemaker wrote:
perche segli di fare il confronto con [tex]\sqrt[n]n^2[/tex] ??

Come "suggerimento" brutale della serie stessa.. mi sembrava una buona idea, in quanto mi portava al limite per confronto asintotico:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{n}-1}{\sqrt[n]{n}})^2=1[/tex]

Per cui la serie al numeratore dovrebbe comportarsi come quella al denominatore, ovvero divergere...



Non mi torna la diseguaglianza...

Noisemaker wrote: [tex]\frac{\ln^2 n}{n^2}}<\frac{1}{n^2}\to \mbox{converge}[/tex]

Comunque, grazie per la risposta!
Domani la riguarderò con calma...

PLA wrote:

Noisemaker wrote:
[tex]\frac{\ln^2 n}{n^2}}<\frac{1}{n^2}\to \mbox{converge}[/tex]

..ho corretto scusa!!

PLA wrote: Come "suggerimento" brutale della serie stessa.. mi sembrava una buona idea, in quanto mi portava al limite per confronto asintotico:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{n}-1}{\sqrt[n]{n}})^2=1[/tex]

Noisemaker wrote:

PLA wrote:

Noisemaker wrote:
[tex]\frac{\ln^2 n}{n^2}}<\frac{1}{n^2}\to \mbox{converge}[/tex]

.....scusate ma secondo il confronto asintotico..nei casi limite....nn dovrebbe essere an>=bn...nn mi torna....??...

Noisemaker wrote: essendo [tex]\frac{\pi}{2}-\arctan n=\arctan \frac{1}{n}[/tex] la serie data è equivalente a

Scusate, non ho capito questa relazione

Noisemaker wrote: [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex]

essendo

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}e-\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex]

essendo somma(algebrica) di due serie divergenti (Il termine generale non tende a zero!) per linearità la serie non converge

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex] Questa,non rispettando la condizione necessaria e essendo a termini positivi non può che divergere a +infinito, giusto?
Dall'ultima relazione scritta da Noisemaker dovrebbe dunque essere +infinito -infinito.
Ma da Teorema algebrico è anche esplicitato che non funziona nel caso +infinito -infinito (Lezione 39 Analisi matematica 1 2012/2013 - PDF Allegato)

Cosa non ho capito?

Overtrq wrote:

Noisemaker wrote: [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex]

essendo

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}e-\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}e-\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex]

essendo somma(algebrica) di due serie divergenti (Il termine generale non tende a zero!) per linearità la serie non converge

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1+\frac{1}{n} \Big)^n[/tex] Questa,non rispettando la condizione necessaria e essendo a termini positivi non può che divergere a +infinito, giusto?
Dall'ultima relazione scritta da Noisemaker dovrebbe dunque essere +infinito -infinito.
Ma da Teorema algebrico è anche esplicitato che non funziona nel caso +infinito -infinito (Lezione 39 Analisi matematica 1 2012/2013 - PDF Allegato)

Cosa non ho capito?

è così infatti...non si può applicare il teorema algebrico in questo caso

si potrebbe applicare il criterio asintotico

posto qui un possibile svolgimento