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la serie cosn!/n^2 la confronto con assoluta convergenza 0<=|cosn!|/n^2<=1/n^2 o sto sbagliando?????

Secondo me va benissimo...

grz

la serie (-1)^n/n^2+4nsinn! la devo spezzare o considerarla cm la serie di (-1)^/n^2 k per leibnitz converge??

E.V. wrote:la serie cosn!/n^2 la confronto con assoluta convergenza 0<=|cosn!|/n^2<=1/n^2 o sto sbagliando?????

1) [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n!}{n^2}[/tex]

Si secondo me va bene, infatti la serie non è termini positivi, quindi considerando il valore assoluto del termine generale si ha:

[tex]\displaystyle\left|\frac{\cos n!}{n^2}\right|=\frac{\left|\cos n!\right|}{n^2}<\frac{1}{n^2}\to\mbox{converge}[/tex]

la serie quidi converge assolutamente(e quindi semplicemente) per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente [tex]2[/tex]


2) [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+4\sin n!}[/tex]

anche in questo caso la serie non è a termini positivi, quindi considerando il valore assoluto del termine generale otteniamo:

[tex]\displaystyle\left|\frac{(-1)^n}{n^2+4\sin n!}\right|=\frac{1}{\left|n^2+4\sin n!\right|}\ge\frac{1}{n^2+4|\sin n!|}[/tex]

poichè grazie alla disuguagliaza triangolare abbiamo che:

[tex]\displaystyle\left| n^2+4\sin n! \right|\le\ | n^2 |+|4\sin n! |= n^2 + 4|\sin n!|\quad\Rightarrow\quad[/tex] [tex]\displaystyle\frac{1}{\left|n^2+4\sin n!\right|}\ge\frac{1}{n^2+4|\sin n!|}[/tex]

a questo punto siamo difronte ad una serie il cui termine generale è a termini positivi; ricordando che

[tex]\displaystyle\left|\sin n\right|\le1\quad\Rightarrow\quad|\sin n!|\le 1}\quad\Rightarrow\quad -1\le \sin n! \le 1\quad\Rightarrow\quad[/tex]

[tex]\displaystyle -4\le 4\sin n! \le 4 \quad\Rightarrow\quad n^2-4\le n^2+ 4\sin n! \le n^2+4 \quad\Rightarrow\quad[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{1}{n^2+4}\le\frac{1}{n^2+4\sin n!}\le \frac{1}{n^2-4}[/tex]

in particolare

[tex]\displaystyle\frac{1}{n^2+4\sin n!}\le \frac{1}{n^2-4}\to \mbox{converge}[/tex]

la serie quidi converge assolutamente(e quindi semplicemente) per confronto con la serie armonica generalizzata di esponente [tex]2[/tex]

Il primo va bene, il secondo formalmente no. Alla terza riga del secondo esercizio hai maggiorato la serie dei valori assoluti con una serie che poi hai dimostrato correttamente essere convergente. Ma dal fatto che sia maggiore di una serie convergente non puoi dedurre nulla.