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Salve professore, ho un dubbio riguardo il criterio di radice e di rapporto per le serie a termini positivi. Lei afferma che se il limite della successione An L=1 non si può risalire al comportamento della serie.
Mi riferisco al crit. del rapporto. Se lei ha la divisione A(n+1)/An =1, ciò implica che i 2 termini siano uguali e che dunque la serie collassi ad una sommatoria di sole costanti tutte uguali, siano esse 1, 10 o altro (Lo stesso vale per la radice)
Sommatoria(1)=+oo
Sommatoria(10)=+oo
ma anche la sommatoria di una costante <1 si può intendere come tendente a +oo
sommatoria(1/1000)=A0+A1+A2+A3+...+An= 1/1000+1/1000+1/1000+1/1000...etc =(n+1)/1000, quindi +oo
E' cosi o no? E nel caso cos'è che sbaglio? Grazie anticipatamente per la risposta

Ciao! Leggendo il tuo ragionamento c'è una cosa che non mi convince

Hai detto giustamente che la sommatoria di costanti <1 è +oo

Questo vale se queste costanti sono incluse tra 0 e 1.

Il criterio del rapporto, di cui hai riportato la condizione, dice che an deve essere >0 e non >1
Quindi non capisco perchè hai fatto il ragionamento paragonando le costanti ad 1.

Per le costanti <0, evitando di dire precorsate, è come se avessi
-0,00001 + -0,00001 + -0,00001 + -0,00001....

che non tende a +oo...

Ciao

Non mi e' chiara la tesi del post iniziale. La tesi e' "in realta' si puo' risalire al comportamento della serie, se il criterio del rapporto ci porta a L=1" ?
(Attento bene che si parla di limite, e non di rapporto.)

Se si parla di criterio del rapporto, stiamo lavorando con serie a termini pari, che possono solo convergere e divergere a +oo, ed il limite del rapporto tra An+1 ed An puo' solo dirci che comportamento abbia la serie:
-se forzatamente diverga
-se forzatamente converga ad un numero ancora incognito
-se non e' possibile stabilirlo a priori (cioe', con il solo criterio del rapporto).

Esempio:

1/n^2, seguendo il criterio del rapporto, porta ad un L=1, e converge

n, fa L=1 e diverge a +oo.

Quando L=1, non e' possibile stabilire a priori quale sia il comportamento della serie: va studiato in altri modi.

(Attento bene che si parla di limite, e non di rapporto.)

Giusto. Ho scritto una cavolata

Ah giusto! Grazie. Non so come mai ma non riuscivo a trovare un esempio che controbatteva la mia ipotesi. grazie