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mi servirebbe un aiuto per una delle serie parametriche 3...
il testo dell'esercizio è questo

(1/sqrt(n))-arctan(1/(n^alfa))

non capisco quando posso considerarla una serie a termini positivi e quando no. Qualcuno di voi si è posto il mio problema?

Ciao.. Allora provo a darti una risposta sperando di non dire cavolate.

Bisogna vedere ovviamente quando l'arctg > 1/sqrt(n)

Quindi arctg(1/n^a)>1/sqrt(n)
-> arctg(1/n^a)-1/sqrt(n)>0

Ora. 1/sqrt(n) è sempre > 0 per n>0

L'arctg è positiva quando?
da 0 a pi/2

quindi 1/sqrt(n) deve essere massimo pi/2
e
0<=arctg(1/n^a)<=pi/2

Ecco.. Ora che ho scritto le prime cose che mi sono venute in mente spero che qualcuno mi corregga in quanto penso che non siano "molto" corrette

Ehi ciao... grazie della risposta
Secondo me il ragionamento che hai fatto è giusto, ma solo nel caso degli alfa negativi. Infatti in quel caso (1/sqrt(n)) tende a 0 e l'arcotangente tende a (pi/2)... quindi definitivamente

arcotangente-(1/sqrt(n))<0

... quindi nel complesso la serie non è a termini positivi ma basta che metto un meno in evidenza e la faccio diventare io.

Nel caso degli alfa positivi mi è venuta una idea stamattina a mente più fresca e riposata

usando Taylor ho che l'argomento della serie è circa (1/sqrt(n))-(1/(n^alfa))
quindi a questo punto è chiaro che la serie è definitivamente a termini positivi per alfa>1/2 e viceversa a termini negativi per 0<alfa<1/2

spero che il ragionamento sia giusto... a domani

Uhm Penso proprio che il ragionamento sia questo

A domani ! (Sei il giorgio che conosco io? O.o)

eh si, credo proprio di sì...
comunque la serie mi è riuscita
per gli alfa negativi non c'era nemmeno bisogno di sapere se i termini della serie erano positivi o no tanto non c'era la condizione necessaria

PS: domani mensa?

giusto!!

Comunque.. PS: Domani ci sta prima informatica.. si va dal Lami e poi credo mensa..

@Giorgio: sostanzialmente corretto. Talvolta è proprio Taylor che dice se una certa cosa è positiva o negativa per n grandi. Ovviamente la cosa andrebbe giustificata rigorosamente, ma brutalmente si procede proprio in quel modo.

Come mai la soluzione è soltanto alpha=1/2? E' per il fatto che è l'unico valore che soddisfa la condizione necessaria?

catarsiaffa wrote:Come mai la soluzione è soltanto alpha=1/2? E' per il fatto che è l'unico valore che soddisfa la condizione necessaria?

Assolutamente no. La condizione necessaria è soddisfatta per ogni [tex]\alpha>0[/tex]. Perché?

Quale dei due termini comanda per [tex]\alpha>1/2[/tex] ? E per [tex]\alpha<1/2[/tex] ?

Cosa succede per [tex]\alpha=1/2[/tex] ? Entrano in gioco i termini successivi di Taylor ... Penso ci siano esempi analoghi nei video sulle serie parametriche di quasi tutti gli anni.

Massimo Gobbino wrote: Assolutamente no. La condizione necessaria è soddisfatta per ogni [tex]\alpha>0[/tex]. Perché?

Ho scritto un orrore matematico, logicamente 1/sqrt(n) ->0 e arctan (1/n^a)-> se 1/n^a ->0, quindi è sufficiente che [tex]\alpha>0[/tex].

Massimo Gobbino wrote: Quale dei due termini comanda per [tex]\alpha>1/2[/tex] ? E per [tex]\alpha<1/2[/tex] ?

Per [tex]\alpha>1/2[/tex]: Utilizzando il primo termine dello sviluppo di Taylor per l'arctan (1/n^a) ottengo ( 1/sqrt(n) - 1/n^a), mettendo in evidenza 1/sqrt(n) vedo che è proprio questo termine che comanda, dato che la parte fra parentesi tende ad 1. Quindi la mia serie si comporta come 1/sqrt(n) e, dato che (1/2)<1, diverge.

Per [tex]\alpha>1/2[/tex]: Utilizzando il primo termine dello sviluppo di Taylor per l'arctan (1/n^a) ottengo ( 1/sqrt(n) - 1/n^a), mettendo in evidenza 1/n^a vedo che è proprio questo termine che comanda, dato che la parte fra parentesi tende a -1. Quindi la mia serie si comporta come 1/n^a e, dato che a<1, diverge.

Massimo Gobbino wrote:Cosa succede per [tex]\alpha=1/2[/tex] ? Entrano in gioco i termini successivi di Taylor ... Penso ci siano esempi analoghi nei video sulle serie parametriche di quasi tutti gli anni.

Per [tex]\alpha=1/2[/tex] utilizzo lo sviluppo di Taylor di ordine 3: 1/sqrt(n) - (1/sqrt(n) - 1/3*(sqrt (n))^3 ), da cui :

1/3*(sqrt (n))^3 si comporta come 1/(sqrt (n))^3 , e dato che 3/2 >1, la serie converge.

La ringrazio, è stato provvidenziale!