Nella fattispecie, la serie data è
\(f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}\)
quindi, dovrebbe essere
\(\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}=+\infty\)
L'esercizio, tratto dall'eserciziario di Analisi Matematica 2, chiede inizialmente di stabilire l'insieme di convergenza puntuale della serie di funzioni:
trattandosi di una serie armonica, essa converge puntualmente per \(x>1\). Dunque, l'insieme di convergenza puntuale è
\(A=(1,+\infty)\)
Successivamente, vengono dati due insiemi, \(B_1=[1,+\infty)\) e \(B_2=(0,1)\), e si chiede se su di essi la serie data converga uniformemente:
sull'insieme \(B_1\) abbiamo che la serie non converge neppure puntualmente per \(x=1\) ma converge totalmente sui compatti di \(A\). Infatti, essendo
\(f'_n(x)=-\frac{\log(n)}{n^x}\le 0\quad\forall x\in (1,+\infty)\)
la successione di funzioni \(f_n(x)\) è monotona decrescente \(\forall x\in (1,+\infty)\) ed è
\(M_n=\sup\bigl\{\lvert f_n(x)\rvert\,\colon x\in(1,+\infty)\bigr\}=\frac{1}{n^{1+\delta}}\) per \(\delta>0\) comunque piccolo.
Essendo infine \(\sum_{n=1}^{\infty}M_n<+\infty\) la serie converge totalmente sui compatti di \((1,+\infty)\).
Sull'insieme \(B_2\) invece, non vi è alcun tipo di convergenza. Quindi, non si possono applicare i teoremi di scambio per calcolare il limite iniziale.
Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti..
.. per aver messo fine a tutta una serie di elucubrazioni alle quali non riuscivo a venire a capo..