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Mi servirebbe aiuto con un esercizio sulle serie numeriche, che ha dato dei grattacapi anche a matematici esperti. La traccia dell'esercizio la metto in allegato
La difficoltà sta proprio nel fatto che le due successioni devono necessariamente essere decrescenti. Per quanto mi sforzi non riesco a trovare due successioni che soddisfino tale richiesta. Ringrazio tutti quelli che mi vorrano aiutare, non so più a chi chiedere

professor Gobbino, lei saprebbe dirmi come risolvere questo esercizio?

Eheh, questo è un grande classico, e si può anche rendere un pelino più difficile richiedendo che le sue successioni siano decrescenti.

[+] Fonte

Era in una short list della IMO in Giappone .

si infatti mi riferisco proprio al richiedere che le due successioni siano decrescenti, perchè senza quella richiesta sono in grado di trovare tranquillamente le due successioni

Un primo aiutino, per quanto in apparenza controcorrente, potrebbe essere dire che

[+] Si_può_fare_di_più

Si può anche costruire l'esempio in modo che sia

\(\min\{a_n,b_n\}=\dfrac{1}{n!}\)

o qualunque successione con serie convergente a nostra scelta!

nel caso in cui le due successioni non debbano necessariamente essere decrescenti possiamo considerare a_n=1+(-1)^n+1/n^2 e
b_n=1+(-1)^(n+1)+1/n^2.
In questo caso le serie di a_n e b_n sono divergenti e il minimo tra a_n e b_n vale 1/n^2, quindi la serie minimo è convergente. Però il problema è che non so come scegliere due successioni decrescenti che soddisfino tale richiesta

Le due successioni si devono "scambiare", ma sempre più lentamente.

[+] Trucco_Scambio_Lento

All'inizio per un po' \(a_n\) vale 12, mentre \(b_n\) segue il valore previsto per il minimo. Tutto questo prosegue fino a quando la somma parziale sulle \(a_n\) è arrivata a 1000. A quel punto avviene lo scambio: \(a_n\) inizia a seguire il minimo, mentre \(b_n\) resta costante al valore che aveva al momento dello scambio. Magari questo valore è piccolo, ma se lo tiene a lungo la sua somma parziale nel frattempo arriva pure lei a 1000. A questo punto nuovo scambio, con le \(a_n\) che puntano a somme parziali 2000, e così via.

Con questo stesso trucco si fanno dei giochetti spettacolari!

la ringrazio per la sua risposta, penso di aver capito il suo ragionamento. Adesso come a faccio a scrivere analiticamente le due successioni?

matematico86 wrote:Adesso come a faccio a scrivere analiticamente le due successioni?

E perché dovresti? E soprattutto, cosa vuol dire "scrivere analiticamente"? Non vorrai mica una "formula", magari che usi pure solo le funzioni "elementari"? E quali sarebbero poi le funzioni "elementari"? Forget it!

Quello che si può fare è definire per ricorrenza la successione dei punti di switch (cioè i valori interi in cui avvengono gli scambi), e poi a quel punto definire \(a_n\) e \(b_n\) tratto per tratto.

A dir la verità a posteriori si potrebbe pure avere un formulone per i punti di switch, ma a che serve?

matematico86 wrote:Adesso come a faccio a scrivere analiticamente le due successioni?

E perché dovresti? E soprattutto, cosa vuol dire "scrivere analiticamente"? Non vorrai mica una "formula", magari che usi pure solo le funzioni "elementari"? E quali sarebbero poi le funzioni "elementari"? Forget it!

Quello che si può fare è definire per ricorrenza la successione dei punti di switch (cioè i valori interi in cui avvengono gli scambi), e poi a quel punto definire \(a_n\) e \(b_n\) tratto per tratto.

A dir la verità a posteriori si potrebbe pure avere un formulone per i punti di switch, ma a che serve?

con analiticamente intendo di definire a_n a cosa è uguale e b_n a cosa è uguale, poichè nell'esercizio è richiesto di determinare esplicitamente le due successioni.