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Data la serie \(\sum n\alpha ^n\) con \(\alpha = \frac{\sqrt{5} -1}{2}\), devo stabilire se converge ed eventualmente a cosa. Per lo studio del carattere, il criterio della radice mi dice che la serie converge. Ora, ho problemi a determinare a cosa converge. La serie assomiglia alla geometrica, ma quell'\(n\) a moltiplicare mi crea problemi. C'è qualche trucco per ricondursi alla forma nota?

per verificare la convergenza un confronto asintotico con \(1/n^2\) dovrebbe bastare

per stabilire a cosa converge non saprei

Per la convergenza non ho problemi. Quello che mi mette in difficoltà è proprio calcolare la somma. Cercando nelle soluzioni, ho trovato che bisogna far saltar fuori un segno di derivata: \(\sum{n\alpha ^n}=\alpha \sum{n \alpha ^{n-1}}=\alpha \frac{d}{d \alpha} \sum{\alpha ^n}\). E poi si calcola la somma, ma come???

Dai uno sguardo alle lezioni AM2_16 dalla 94 in poi ...

ss420 wrote:Per la convergenza non ho problemi. Quello che mi mette in difficoltà è proprio calcolare la somma. Cercando nelle soluzioni, ho trovato che bisogna far saltar fuori un segno di derivata: \(\sum{n\alpha ^n}=\alpha \sum{n \alpha ^{n-1}}=\alpha \frac{d}{d \alpha} \sum{\alpha ^n}\). E poi si calcola la somma, ma come???

a beh arrivato là mi pare fatta...la somma della serie geometrica si calcola!

Quindi poi dovrei farne la derivata rispetto ad \(\alpha\)?

Massimo Gobbino wrote:Dai uno sguardo alle lezioni AM2_16 dalla 94 in poi ...

Grazie per l'indirizzamento!!! ...e dire che l'esercizio è tratto da un esame di AM1 (ing. aero.) di qualche mese fa

ss420 wrote:e dire che l'esercizio è tratto da un esame di AM1 (ing. aero.) di qualche mese fa

Beh sì, tradizionalmente nei corsi di servizio quell'esempio viene fatto al primo anno, di solito dando per buoni i teoremi di scambio. Ad esempio c'è nella lezione 90 di AM13 e nelle corrispondenti degli anni precedenti.

A matematica invece ho preferito inserirlo al secondo anno nel momento in cui i teoremi di scambio sono stati discussi e dimostrati nel dettaglio.

Massimo Gobbino wrote:Ad esempio c'è nella lezione 90 di AM13 e nelle corrispondenti degli anni precedenti.

Per fortuna che ci sono Professori come lei, con la P maiuscola!!!