Estensione del teorema di Abel

[C_Paradise]

Ciao a tutti! Stavo provando a risolvere il seguente esercizio. Sia \(a_n\) una successione di numeri reali tale che

\(\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}|a_n|^{1/n}=1\) e che \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n=+\infty.\)

Dimostrare che

\(\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=+\infty.\)

Purtroppo non riesco a risolverlo, ho cercato di usare il lemma di sommazione di Abel, ma non sono arrivato da nessuna parte, se qualcuno l'ha fatto o ha qualche idea da scambiare è il benvenuto

[C_Paradise]

Sono arrivato alla disuguaglianza \(S_{\infty}(x) \ge S_n(x)-A_nx^{n+1}+Mx^{n+1}\) valida \(\forall n \ge n_0\) dipendente da \(M\) e dove si è posto \(A_n=\sum_{k=0}^{n}a_k\). Controllando la differenza tra \(S_n(x)-A_nx^{n+1}\) e passando al \(\liminf\) forse si riesce a fare..

[Massimo Gobbino]

La stima che hai scritto non mi torna molto, dovresti esplicitare maggiormente i dettagli.

Mi pare comunque che basti ragionare come nel passo 3 della dimostrazione di Abel classico (vedi lezione 95). Si tratta sostanzialmente di fissare un M arbitrario (grande a piacere) e scrivere l'uguaglianza per la differenza delle somme parziali con indice m variabile e indice n uguale ad un indice \(n_0\) fisso dopo il quale tutti gli \(A_k\) valgono più di M.

A quel punto con gli stessi passaggi fatti a lezione si ottiene la stima (ho sacrificato il termine positivo \(A_mx^{m+1}\) e stimato gli \(A_k\) nella sommatoria finale con M)

\(S_m(x)-S_{n_0}(x)\geq -A_{n_0} x^{n_0+1}+M(1-x)\displaystyle\sum_{k=n_0+1}^m x^k.\)

Ora basta, nell'ordine,

• calcolare la sommatoria,
• mandare m all'infinito,
• fare il liminf per \(x\to 1^-\),
• esplicitare \(S_{n_0}(1)-A_{n_0}\),
• ricordare l'arbitrarietà di M.

[C_Paradise]

Grazie mille per la rapida risposta Il mio conto è sostanzialmente quello che ha fatto lei, ho regalato il termine \(A_{m}x^{m+1}\) e ho scritto
\(\displaystyle\sum_{k=n_0+1}^{m}x^k=\frac{x^{m+1}-x^{n_0+1}}{x-1}\) da cui \(\displaystyle S_m(x) \ge S_{n_0}(x)-A_{n_0}x^{n_0+1}+M(x^{n_0+1}-x^{m})\)
e mandando \(m \to +\infty\) ottengo \(\displaystyle S_{\infty}(x) \ge S_{n_0}(x)-A_{n_0}x^{n_0+1}+Mx^{n_0+1}\) ma \(S_{n_0}(1)=A_{n_0}\) da cui \(\displaystyle \liminf_{x \to 1^{-}}S_{\infty}(x) \ge M\) e come ha detto lei si chiude per l'arbitrarietà di \(M\)