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\(\displaystyle\sum\dfrac{n^a}{1+a^2e^{an}}\)


L'esercizio richiede di determinare per quali valori del parametro reale a la serie converge. Per a positivi basta applicare il criterio della radice n-esima, imporre il limite <1 ed è fatta ( si trova a>0). Tuttavia ho qualche dubbio sul come rispondere alla stessa richiesta considerando a<0 (in questo caso la serie converge per a<-1). Qualcuno sarebbe così gentile da darmi qualche indicazione per favore?

sarebbe e^(an) ma non sono riuscito a scriverlo per bene.

potresti provare così

[+] hint1

poni a=-b, per ragionare su valori positivi

[+] hint2

fai un confronto asintotico con \(1/n^b\)

però non l'ho sviluppato in dettaglio, fammi sapere se torna

Ottima idea porre a=-b. Il confronto asintotico con \(1/n^b\) viene fuori dal fatto che la successione definitivamente è \(1/n^b\) giusto? Almeno a me risulta così dopo aver raccolto il nuovo e^(bn) .

Valerio wrote:Ottima idea porre a=-b. Il confronto asintotico con \(1/n^b\) viene fuori dal fatto che la successione definitivamente è \(1/n^b\) giusto? Almeno a me risulta così dopo aver raccolto il nuovo e^(bn) .

più che definitivamente direi brutalmente...cmq sì il ragionamento è quello...poi si formalizza con il criterio del confronto

allego qui lo svolgimento con il caso a>0 fatto con il rapporto

Giusto quello è proprio il brutal mode. Grazie mille per l'aiuto e per la disponibilità!

Ottima idea porre (a=-b). Il confronto asintotico con (1/n^b) deriva dal fatto che, definitivamente, la successione è equivalente a (1/n^b), giusto? Almeno, a me risulta così dopo aver raccolto il nuovo (e^{bn}).