Altra serie convergente

[Valerio]

La seguente serie

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \dfrac{1+\log n}{1+\sqrt{n}}\)

dovrebbe convergere. Ho provato a togliere ed aggiungere alla frazione la quantità suggerita dal "brutal mode" (chiamiamola bn =[1/n^1/2]). Una volta fatto ottengo una somma di 2 serie dove una (quella col solo bn) converge per Leibnitz mentre sull'altra non riesco a trovare la maniera per verificarne la convergenza. Potreste gentilmente aiutarmi?

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho sistemato la formula

[GIMUSI]

non sono sicuro che ci sia assolutamente bisogno di aggiungere e sottrarre termini in questo caso

sei certo che non si riesca con un "semplice" Leibnitz? il termine della serie mi pare decrescente, forse è un po' ostico farlo vedere

io lo farei ad esempio considerando la funzione f(x) che si ottiene mettendo x=n e poi prendendo g(y) con x=e^(2y)...ma non è detto che sia il modo migliore eh

se fai qualche tentativo poi fammi sapere

[Valerio]

non sono sicuro che ci sia assolutamente bisogno di aggiungere e sottrarre termini in questo caso

sei certo che non si riesca con un "semplice" Leibnitz? il termine della serie mi pare decrescente, forse è un po' ostico farlo vedere

io lo farei ad esempio considerando la funzione f(x) che si ottiene mettendo x=n e poi prendendo g(y) con x=e^(2y)...ma non è detto che sia il modo migliore eh

se fai qualche tentativo poi fammi sapere

Quindi la via per dimostrare la debole decrescenza è proprio attraverso uno studio di funzione? Ho provato sia con l'induzione che con lo studio di funzione a dimostrarla ma in entrambi i casi i calcoli da fare diventano articolati. In particolare per lo studio di funzione la difficoltà sta nello studiare il segno della derivata per stabilirne la monotonia. Anche sostituendo f(x) a g(y) come suggerito mi sembra, almeno in apparenza, che la situazione sia complicata lo stesso. Difatti facendo la derivata di g(y) per studiarne il segno viene fuori una frazione [g(y)]'=(e^y - 2ye^y +2)/( e^y+1)^2.

[Massimo Gobbino]

Beh, ma in Leibnitz la monotonia basta "definitivamente", ed è evidente che il numeratore di quella frazione è negativo quando y è grande. La stessa cosa si vedeva anche direttamente con la funzione f(x), e forse anche impostando direttamente la monotonia sulla successione.

[Valerio]

Beh, ma in Leibnitz la monotonia basta "definitivamente", ed è evidente che il numeratore di quella frazione è negativo quando y è grande. La stessa cosa si vedeva anche direttamente con la funzione f(x), e forse anche impostando direttamente la monotonia sulla successione.

Giusto, basta osservare che il numeratore è negativo per y grandi ed è fatta senza scomodare uno studio di funzione globale rigoroso ( in questo caso non banalissimo). Adesso la dimostrazione della debole decrescenza attraverso la derivata di g(y) mi è chiara. Tuttavia mi rimane ancora un' ultima domanda- curiosità in merito. Impostare direttamente la monotonia sulla successione vorrebbe dire scrivere la disequazione \(a_{n+1}\leq a_{n}\), ho provato a risolverla tramite induzione ma ho l'impressione che i calcoli si complichino eccessivamente. Attraverso quali accorgimenti, strategie si potrebbe completare l'induzione e quali altri metodi permettono di lavorare direttamente sulla successione anziché sulla funzione ad essa associata f(x)?

[Massimo Gobbino]

L'induzione di solito è una scelta perdente. Molto meglio provare a dimostrare direttamente che la disuguaglianza vale definitivamente, riducendosi dopo un po' di passaggi algebrici al confronto di espressioni con ordine di infinito diverso. Un esempio in tal senso lo puoi trovare all'inizio della lezione 37 di analisi 1 per matematica.

Si tratta di un metodo ragionevole nei casi polinomiali; funziona anche nel caso in questione, ma ci vuole un minimo di esperienza per tenere duro e portarlo al termine.

[Valerio]

Ho capito, grazie mille per la pazienza, la disponibilità e la chiarezza. Mi siete stati di grandissimo aiuto!