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Salve Professore,

Al minuto 42:00 lei fa l'esempio della serie:
(n^5 - n^2 + 3) / (n^7 - n^a - 5)
con a parametro e stabilire per quali valori di a (nell'insieme dei numeri reali) la serie converge.

Svolgendo l'esercizio dice che la serie converge per ogni valore di a splittando la dimostrazione in due casi (uno in cui a <= 7 e uno in cui a > 7).

A mio avviso il caso a <= 7 dovrebbe essere splittato in altri due sotto-casi:
a > -6 (in cui la serie chiaramente converge)
a < -6 in cui la serie non converge perchè asintoticamente la serie iniziale equivale a:
(n^abs(a)) / (n^7)
ovvero:
1 / n^(7 - abs(a))
e questa converge se e solo se 7 - abs(a) > 1 ovvero se e solo se -abs(a) > 1 - 7 ovvero se e solo se a > -6.
Ma per ipotesi a < -6. Quindi per a < -6 la serie non converge.

Conclusione: la serie iniziale converge se e solo se a > -6.

Volevo dei chiarimenti e capire se il mio ragionamento è corretto.

Prova a mettere esplicitamente \(a=-100\) e vedi un po' che succede

Innanzitutto, la ringrazio per la pronta risposta.

Non avevo considerato (mio grave errore) che n^(-100) tendesse a 0 per n che tende a +inf. Quindi asintoticamente parlando, poteva anche essere trascurato in questo caso. Avevo semplicemente portato n^(-100) al numeratore facendolo diventare n^(100). Mentre invece svolgendo i calcoli (mettendo, al denominatore, in evidenza n^(-100)) si può capire che il gap degli esponenti essenzialmente non cambia.

La ringrazio di nuovo e le chiedo di spostare il thread nella sezione più adatta dato che il post in questione tratta di un mio palese errore algebrico anziché di un errore nei suoi contenuti didattici.

Certe volte sostituire qualche valore può essere molto utile negli esercizi parametrici per familiarizzare con il problema.

E poi non preoccuparti per gli errori: e proprio con quelli che uno impara! Quindi, se ne vuoi fare altri, sei sempre il benvenuto

Ora sposto nella sezione dedicata alle serie.