Buonasera a tutti!
E' da un pò di tempo che sto lottando con una serie parametrica. il vero problema, però, non è la serie in se ma i metodi per dimostrare (oltre che capire) se la successione che compone la serie è monotona (crescente, decrescente) o no.
faccio un esempio (che è il mio caso):
[(-1)^n] * [ (n + 2) / (n^a + 2) ]
con a€(0,1)
considero la successione "alfa" = [ (n + 2) / (n^a + 2) ] e uso Leibnitz, però al punto 2 (cioè dimostrare SE è monotona decrescente) ho difficoltà.
manca la condizione necessaria(vince il numeratore), quindi non può convergere. Però può essere divergente o indeterminata.
ho il sospetto che sia indeterminata (oscilla tra +inf e -inf) ma come lo dimostro?
dovrei dimostrare che "alfa" è una successione monotona non decrescente e ho delle difficoltà.
ho provato il trucchetto "quella successione è circa n^(1-a) quindi aggiungo e tolgo n^(1-a)" ma non mi aiuta.
Domanda: quanti metodi esistono per stabilire la monotonia di una successione?
- la classica disequazione (che è la definizione di monotonia) mi crea dei problemi (in alcuni casi sono moltissimi calcoli, in altri c'è un coseno di mezzo che complica ulteriormente).
- trattare la successione come una funzione va bene se non ci sono fattoriali di mezzo
Esistono altri modi per studiare la monotonia senza fare una marea di calcoli?
oppure: quanti modi ci sono per vedere o dimostrare che una serie è indeterminata?
Vi ringrazio in anticipo!
ps: faccio matematica per passione quindi ho sicuramente molte lacune.
Serie parametriche: è indeterminata?
Re: Serie parametriche: è indeterminata?
Aggiornamenti: ho guardato la lezione n° 37 dell'anno 2014/15 (an1 per matematica) e ho visto che la verifica della condizione a(n+1) <= a(n) è stata fatta con l'ausilio dei limiti,
ossia: non so da quale n è verificata la condizione però so che è definitivamente verificata.
ho applicato la stessa idea alla successione [tex]\frac{n + 2}{n^a + 2}[/tex]
con l'ipotesi [tex]a \in (0,1)[/tex]
[tex]\frac{n + 3}{(n+1)^a + 2} \ge \frac{n + 2}{n^a + 2}[/tex]
dato che è tutta roba positiva l'ho trasformata in [tex](n+3)(n^a + 2) \ge (n+2)[(n+1)^a + 2][/tex]
e poi in [tex](n+3)(n^a + 2) - (n+2)[(n+1)^a + 2] \ge 0[/tex]
il 1° membro tende a [tex]+\infty[/tex] quindi la diseguaglianza è "definitivamente" soddisfatta
quindi la successione è "definitivamente" monotona non decrescente.
domanda: il ragionamento è accettabile?
ossia: non so da quale n è verificata la condizione però so che è definitivamente verificata.
ho applicato la stessa idea alla successione [tex]\frac{n + 2}{n^a + 2}[/tex]
con l'ipotesi [tex]a \in (0,1)[/tex]
[tex]\frac{n + 3}{(n+1)^a + 2} \ge \frac{n + 2}{n^a + 2}[/tex]
dato che è tutta roba positiva l'ho trasformata in [tex](n+3)(n^a + 2) \ge (n+2)[(n+1)^a + 2][/tex]
e poi in [tex](n+3)(n^a + 2) - (n+2)[(n+1)^a + 2] \ge 0[/tex]
il 1° membro tende a [tex]+\infty[/tex] quindi la diseguaglianza è "definitivamente" soddisfatta
quindi la successione è "definitivamente" monotona non decrescente.
domanda: il ragionamento è accettabile?
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Massimo Gobbino
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Re: Serie parametriche: è indeterminata?
Metodi per dimostrare che una serie è indeterminata: la cosa più semplice è scriverla come somma di due serie, di cui la prima indeterminata, e la seconda convergente.
Verifica della definitiva monotonia mediante un limite: certamente è un metodo molto comodo. Nell'esempio però non è per nulla chiaro che il lhs tende a + infinito: questo andrebbe dimostrato per bene.
Verifica della definitiva monotonia mediante un limite: certamente è un metodo molto comodo. Nell'esempio però non è per nulla chiaro che il lhs tende a + infinito: questo andrebbe dimostrato per bene.
Re: Serie parametriche: è indeterminata?
Professore, innanzitutto la rigrazio per la disponibilità
però in questo esempio non sono riuscito ad applicarlo (usandolo più volte potevo dimostrare che la serie era indeterminata per [tex]a\in(1/2,1)[/tex], per [tex]a\in(1/3, 1)[/tex] ecc, ma nulla in generale.
il limite nella disuguaglianza l'ho risolto cosi:
[tex]\lim_{n \to \infty} (n+3)(n^a + 2) - (n+2)[(n+1)^a + 2][/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1} + 2n + 3n^a + 6 - n(n+1)^a - 2n - 2(n+1)^a - 4[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1} + 3n^a - n^{a+1}(1 + 1/n)^a - 2(n+1)^a + 2[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1}(1 - (1 + (1/n)^a) + n^a(3 - 2(1+1/n)^a) + 2[/tex]
ora uso lo sviluppino per x->0 [tex](1 + x)^a = 1 + ax + o(x)[/tex]
dove [tex]x = 1/n[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1}[ 1 - 1 - a/n + o(1/n) ] + n^a(3 - 2(1+1/n)^a) + 2[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1}(1/n) [- a + n(o(1/n)) ] + n^a(3 - 2(1+1/n)^a) + 2[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a} [- a + n(o(1/n)) ] + n^a(3 - 2(1+1/n)^a) + 2[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a} [- a + 3 - 2(1+1/n)^a + n(o(1/n)) ] + 2[/tex]
passando al limite ottengo
[tex]= +\infty[-a + 3 - 2 + 0] + 2
= +\infty[1 - a] + 2[/tex]
dato che [tex]a < 1[/tex]
[tex]= +\infty[roba > 0 ] + 2 = +\infty[/tex]
salvo errori vari (sia di calcolo che di scrittura in latex).
quel metodo (aggiungere e togliere una certa quantità) mi ha aiutato in tantissimi casi (prima di conoscerlo risolvevo la disequazione classica per stabilire la monotonia, cosa che non riuscivo a fare se c'era un seno o coseno).Metodi per dimostrare che una serie è indeterminata: la cosa più semplice è scriverla come somma di due serie, di cui la prima indeterminata, e la seconda convergente.
però in questo esempio non sono riuscito ad applicarlo (usandolo più volte potevo dimostrare che la serie era indeterminata per [tex]a\in(1/2,1)[/tex], per [tex]a\in(1/3, 1)[/tex] ecc, ma nulla in generale.
il limite nella disuguaglianza l'ho risolto cosi:
[tex]\lim_{n \to \infty} (n+3)(n^a + 2) - (n+2)[(n+1)^a + 2][/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1} + 2n + 3n^a + 6 - n(n+1)^a - 2n - 2(n+1)^a - 4[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1} + 3n^a - n^{a+1}(1 + 1/n)^a - 2(n+1)^a + 2[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1}(1 - (1 + (1/n)^a) + n^a(3 - 2(1+1/n)^a) + 2[/tex]
ora uso lo sviluppino per x->0 [tex](1 + x)^a = 1 + ax + o(x)[/tex]
dove [tex]x = 1/n[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1}[ 1 - 1 - a/n + o(1/n) ] + n^a(3 - 2(1+1/n)^a) + 2[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a+1}(1/n) [- a + n(o(1/n)) ] + n^a(3 - 2(1+1/n)^a) + 2[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a} [- a + n(o(1/n)) ] + n^a(3 - 2(1+1/n)^a) + 2[/tex]
= [tex]\lim_{n \to \infty} n^{a} [- a + 3 - 2(1+1/n)^a + n(o(1/n)) ] + 2[/tex]
passando al limite ottengo
[tex]= +\infty[-a + 3 - 2 + 0] + 2
= +\infty[1 - a] + 2[/tex]
dato che [tex]a < 1[/tex]
[tex]= +\infty[roba > 0 ] + 2 = +\infty[/tex]
salvo errori vari (sia di calcolo che di scrittura in latex).
è anche accettabile? perchè risolverei parecchi esercizi in questo modoVerifica della definitiva monotonia mediante un limite: certamente è un metodo molto comodo.
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Massimo Gobbino
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Re: Serie parametriche: è indeterminata?
Certamente è accettabile dimostrare che
[tex]a_{n+1}\geq a_n[/tex]
definitivamente mostrando che
[tex]a_{n+1}- a_n[/tex]
ha un limite (o un liminf) positivo (si intende sempre strettamente), o anche che
[tex]\dfrac{a_{n+1}- a_n}{n^{2016}}[/tex]
ha un limite (o liminf) positivo, cosa che spesso è ancora più semplice. Si tratta in fondo di una semplice applicazione del teorema della permanenza del segno. Come dico a lezione: in questi casi la definizione di limite lavora al posto nostro
.
Di fronte ad una serie a termini di segno variabile che non converge, può essere difficile stabilire quale dei 3 comportamenti rimasti si applica. Uno strumento è quello di aggiungere e togliere, cosa che spesso funziona.
Un'altra idea, buona soprattutto nel caso di segni alterni, è quella di accoppiare i termini a due a due. In pratica, di fronte alla serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n[/tex]
uno considera la serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (a_{2n}-a_{2n+1})[/tex]
Se gli [tex]a_n[/tex] della prima erano decrescenti (definitivamente), allora il termine generale di questa serie è definitivamente positivo, quindi questa serie è abbastanza agevole da studiare. Ora non bisogna cadere nell'errore di dire che questa serie "è la stessa di prima": si può solo dire che le somme parziali di questa coincidono con le somme parziali di indice pari di quella iniziale. Si costruisce poi la serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-a_{2n+1}+a_{2n+2})[/tex]
le cui somme parziali sono legate a quelle di indice dispari ...
Ora se la prima diverge a + infinito e la seconda diverge a - infinito, sappiamo per certo che la serie iniziale è indeterminata.
[tex]a_{n+1}\geq a_n[/tex]
definitivamente mostrando che
[tex]a_{n+1}- a_n[/tex]
ha un limite (o un liminf) positivo (si intende sempre strettamente), o anche che
[tex]\dfrac{a_{n+1}- a_n}{n^{2016}}[/tex]
ha un limite (o liminf) positivo, cosa che spesso è ancora più semplice. Si tratta in fondo di una semplice applicazione del teorema della permanenza del segno. Come dico a lezione: in questi casi la definizione di limite lavora al posto nostro
.Di fronte ad una serie a termini di segno variabile che non converge, può essere difficile stabilire quale dei 3 comportamenti rimasti si applica. Uno strumento è quello di aggiungere e togliere, cosa che spesso funziona.
Un'altra idea, buona soprattutto nel caso di segni alterni, è quella di accoppiare i termini a due a due. In pratica, di fronte alla serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n[/tex]
uno considera la serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (a_{2n}-a_{2n+1})[/tex]
Se gli [tex]a_n[/tex] della prima erano decrescenti (definitivamente), allora il termine generale di questa serie è definitivamente positivo, quindi questa serie è abbastanza agevole da studiare. Ora non bisogna cadere nell'errore di dire che questa serie "è la stessa di prima": si può solo dire che le somme parziali di questa coincidono con le somme parziali di indice pari di quella iniziale. Si costruisce poi la serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-a_{2n+1}+a_{2n+2})[/tex]
le cui somme parziali sono legate a quelle di indice dispari ...
Ora se la prima diverge a + infinito e la seconda diverge a - infinito, sappiamo per certo che la serie iniziale è indeterminata.
Re: Serie parametriche: è indeterminata?
Perfetto!
il mio unico dubbio era se esistevano casi e/o condizioni particolari (e strani) in cui esiste (ed è positivo) il limite di [tex]a_{n+1} - a_n[/tex] ma non posso essere sicuro della monotonia.
La ringrazio ancora professore
il mio unico dubbio era se esistevano casi e/o condizioni particolari (e strani) in cui esiste (ed è positivo) il limite di [tex]a_{n+1} - a_n[/tex] ma non posso essere sicuro della monotonia.
La ringrazio ancora professore